﻿ OPUS 4 | Real-Time Control of Hydrodynamic Process Models on Finite Volume Networks

## Real-Time Control of Hydrodynamic Process Models on Finite Volume Networks

### Echtzeitsteuerung von hydrodynamischen Prozessmodellen auf Finite Volumen Netzwerken

• We study the shallow water equations augmented with pollution transport in one space dimension on prismatic channels with nontrivial channel width. We use both, the characteristic and the weak formulation, to construct an explicit solution of the corresponding Riemann problem. This solution is an important ingredient for Godunov's finite volume scheme, which is used to discretize a real world sewer system into a network of finite volume elements. We especially focus on a finite volume model for the network vertices, which implies weak coupling conditions at each vertex and is based on the solution of a transjunctional Riemann problem. In order to develop a process model for sewer systems of We study the shallow water equations augmented with pollution transport in one space dimension on prismatic channels with nontrivial channel width. We use both, the characteristic and the weak formulation, to construct an explicit solution of the corresponding Riemann problem. This solution is an important ingredient for Godunov's finite volume scheme, which is used to discretize a real world sewer system into a network of finite volume elements. We especially focus on a finite volume model for the network vertices, which implies weak coupling conditions at each vertex and is based on the solution of a transjunctional Riemann problem. In order to develop a process model for sewer systems of practical relevance, we introduce generalized numerical flux functions, which allow the modeling of wave reflections at nonprismatic channel junctions and walls. The generalized numerical flux functions also enable the modeling of controllable special structures like pumps, weirs and valves. The resulting process model is especially suited for real world sewer systems and is mathematically represented by a system of ordinary differential equations. The controllable process model is subject to an optimal control problem for real-time application. We discretize the process model with a general linear one-step scheme in time and use adjoint calculus to provide explicit formulas for the gradient and Hessian of the time discrete cost functional. We verify our approach with a self-written C++ application, which is tailored to optimize finite volume networks in real-time, and provide numerical results for two sewer systems, which are both based on practical application. We apply a receding horizon strategy to both test cases and compare the real-time control results with the previously computed solutions of an offline control approach.
• Wir untersuchen die Flachwassergleichungen inklusive Schmutztransport im eindimensionalen Raum auf prismatischen Kanälen mit nichttrivialer Kanalbreite. Wir verwenden sowohl die charakteristische als auch die schwache Formulierung der Flachwassergleichungen, um eine explizite Lösung des zugehörigen Riemannproblems zu konstruieren. Diese Lösung ist ein wichtiger Bestandteil für das Finite-Volumen-Verfahren von Godunov, welches verwendet wird, um ein praxisbezogenes Kanalnetz in ein Finite-Volumen-Netzwerk zu diskretisieren. Wir konzentrieren uns vor allem auf die Finite-Volumen-Modellierung von Netzwerkknoten, welche schwache Kopplungsbedingungen an jedem Knoten impliziert und auf der Lösung Wir untersuchen die Flachwassergleichungen inklusive Schmutztransport im eindimensionalen Raum auf prismatischen Kanälen mit nichttrivialer Kanalbreite. Wir verwenden sowohl die charakteristische als auch die schwache Formulierung der Flachwassergleichungen, um eine explizite Lösung des zugehörigen Riemannproblems zu konstruieren. Diese Lösung ist ein wichtiger Bestandteil für das Finite-Volumen-Verfahren von Godunov, welches verwendet wird, um ein praxisbezogenes Kanalnetz in ein Finite-Volumen-Netzwerk zu diskretisieren. Wir konzentrieren uns vor allem auf die Finite-Volumen-Modellierung von Netzwerkknoten, welche schwache Kopplungsbedingungen an jedem Knoten impliziert und auf der Lösung eines knotenübergreifenden Riemannproblems basiert. Um ein Prozessmodell für praxisrelevante Kanalisationssysteme herzuleiten, führen wir verallgemeinerte numerische Flussfunktionen ein, mit denen wir Wellenreflexionen an nichtprismatischen Kanalknoten und Kanalwänden modellieren können. Außerdem ermöglichen die verallgemeinerten numerischen Flussfunktionen die Modellierung von Sonderbauwerken wie steuerbare Pumpen, Wehre und Ventile. Das daraus resultierende, steuerbare Prozessmodell ist besonders dafür geeignet, praxisrelevante Kanalisationssysteme darzustellen, und lässt sich mathematisch als ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen beschreiben. Das steuerbare Prozessmodel wird als Nebenbedingung eines Optimalsteuerungsproblems für Echtzeitanwendungen eingesetzt. Wir diskretisieren das Prozessmodell mit einem verallgemeinerten linearen Einschrittverfahren in der Zeit und nutzen das Adjungiertenkalkül um explizite Formeln für den Gradienten und die Hessematrix des zeitdiskreten Zielfunktionals herzuleiten. Wir überprüfen unseren Ansatz mit einer selbstgeschriebenen C++ Anwendung, welche speziell dafür entwickelt wurde um Finite-Volumen-Netzwerke in Echtzeit zu optimieren, und dokumentieren die numerischen Ergebnisse zweier Kanalnetze, die beide aus der praktischen Anwendung stammen. Wir wenden die Strategie des rollenden Horizonts auf beide Testnetze an und vergleichen die Ergebnisse der Echtzeitsteuerung mit den zuvor berechneten Lösungen einer Offlinesteuerungsstrategie.