Temporal Multiscale Methods for a Model of Atherosclerosis

Zeitliche Mehrskalenmethoden für ein Modell von Atherosklerose

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-165495
  • Atherosclerosis is a disease of the arteries which can cause a reduction or complete blockage of blood flow and may thus lead to heart attacks or strokes, two of the most common causes of death worldwide. This motivates mathematical modelling and simulation of the disease. The timescale of disease progression, driven by the growth of plaque in the artery wall over years, differs greatly from other processes which are assumed to be relevant, e.g. the shear stresses exerted by the blood flow on the artery wall, which oscillates with the heart beat every second. This prevents a direct numerical simulation of such models, since long timescales would have to be resolved with a very fine stepAtherosclerosis is a disease of the arteries which can cause a reduction or complete blockage of blood flow and may thus lead to heart attacks or strokes, two of the most common causes of death worldwide. This motivates mathematical modelling and simulation of the disease. The timescale of disease progression, driven by the growth of plaque in the artery wall over years, differs greatly from other processes which are assumed to be relevant, e.g. the shear stresses exerted by the blood flow on the artery wall, which oscillates with the heart beat every second. This prevents a direct numerical simulation of such models, since long timescales would have to be resolved with a very fine step size. The goal of this thesis is to construct approximations which are simpler to solve numerically, through the use of multiscale methods, and to prove quantitative convergence results. Motivated by a model by Yang et. al. (2015), we will investigate two simplified submodels of atherosclerosis for which a rigorous multiscale analysis is possible. The first model studies slow plaque growth coupled to fast oscillating shear stresses caused by the blood flow. Mathematically this is realized through a slow ordinary differential equation coupled to a fluid equation with rapidly oscillating boundary conditions and growth-dependent, non-cylindrical space-time domain. The second model investigates substances quickly advected through the artery but only slowly diffusing into the semi-permeable wall. It consists of a system of coupled advection-diffusion and diffusion-reaction equations. With a small parameter epsilon, which expresses the timescale separation, the behavior of the solutions to these models in the limit epsilon to 0 is investigated. Both models are singularly perturbed, meaning that their solutions converge to functions which solve a differential equation of different type. For the first model it will be shown that the solution converges with order O(epsilon) to the solution of a limit equation which averages the effect of a time-periodic fluid equation. The second model yields a limit consisting of a coupled advection and diffusion-reaction equation. The order of convergence depends on the solution regularity and the behavior of the advection field. For e.g. the stationary problem and Poiseuille flow it will be shown that the spatial L2- and H1-errors are of order O(epsilon^(1/2)), respectively O(epsilon^(1/6)), in the advection domain. Inside the wall the H1-error will be of order O(epsilon^(1/3)). The derivation of this result combines qualitative convergence theory for advection-diffusion equations in the vanishing diffusion limit with a specific trace estimate for the coupling through the permeable wall. Numerical calculations are carried out for both models. For the plaque growth the focus lies on the solution of the time-periodic Navier–Stokes equation which will be required for the limit system, an existing algorithm from the literature is improved here. Furthermore, the error of the time-discrete equation is analyzed, which quantifies and emphasizes how the errors made in the different solution steps must be balanced for efficiency. For the second model a discontinuous Galerkin discretization is proposed and the agreement between theoretical and numerical results shown.show moreshow less
  • Atherosklerose ist eine Krankheit der Arterien in Folge derer der Blutfluss stark eingeschränkt oder gänzlich blockiert werden kann. Dadurch kann es zu Herzinfarkten oder Schlaganfällen kommen, zwei der häufigsten Todesursachen weltweit. Dies motiviert eine mathematische Modellierung und Simulation dieser Krankheit. Die Zeitskala des Krankheitsverlaufs, primär bestimmt durch das Anwachsen eines Plaques in der Arterien-Wand über Jahre, unterscheidet sich stark von der Zeitskala anderer als relevant vermuteter Phänomene, z.B. auf die Wand wirkende Scherkräfte durch den Blutfluss, oszillierend mit dem Herzschlag auf einer Sekundenskala. Dies verhindert eine direkte numerische Simulation dieserAtherosklerose ist eine Krankheit der Arterien in Folge derer der Blutfluss stark eingeschränkt oder gänzlich blockiert werden kann. Dadurch kann es zu Herzinfarkten oder Schlaganfällen kommen, zwei der häufigsten Todesursachen weltweit. Dies motiviert eine mathematische Modellierung und Simulation dieser Krankheit. Die Zeitskala des Krankheitsverlaufs, primär bestimmt durch das Anwachsen eines Plaques in der Arterien-Wand über Jahre, unterscheidet sich stark von der Zeitskala anderer als relevant vermuteter Phänomene, z.B. auf die Wand wirkende Scherkräfte durch den Blutfluss, oszillierend mit dem Herzschlag auf einer Sekundenskala. Dies verhindert eine direkte numerische Simulation dieser Modelle, da lange Zeiträume mit einer sehr feinen Diskretisierung aufgelöst werden müssten. Das Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion von einfacher zu lösenden Approximationen durch Mehrskalenmethoden mit einer rigorosen Fehleranalyse. Motiviert durch einer Arbeit von Yang et. al. (2015) werden zwei vereinfachte Teilmodelle von Atherosklerose betrachtet, deren Mehrskalenanalyse sich rigoros durchführen lässt. Das erste Modell behandelt das langsame Plaque-Wachstum gekoppelt an die schnell oszillierenden Scherkräfte der Blutströmung. Dies ist mathematisch realisiert durch eine langsame gewöhnliche Differentialgleichung gekoppelt an eine Strömungsgleichung mit schnell oszillierenden Randwerten und einem vom Wachstum abhängenden, nicht-zylindrischen Orts-Zeit-Gebiet. Das zweite Modell betrachtet schnell durch die Arterie advektierte Substanzen mit einer langsamen Diffusion durch die Arterienwand und besteht aus einem System von Advektions-Diffusions- und Diffusions-Reaktions- Gleichungen, gekoppelt über das permeable Interface. Mit einem kleinen Parameter epsilon, welcher die Zeitskalenseparierung ausdrückt, wird das Verhalten der Lösungen dieser Modelle im Grenzwert epsilon gegen 0 analysiert. Beide Modelle sind singulär gestört, d.h. der Grenzwert der Lösungen erfüllt eine Differentialgleichung eines anderen Typs. Für das erste Modell wird gezeigt, dass die Lösung mit der Ordnung O(epsilon) gegen die Lösung einer Grenzgleichung konvergiert, welche die Auswirkung einer zeitlich-periodischen Strömungsgleichung mittelt. Für das zweite Modell ergibt sich im Grenzwert ein gekoppeltes System aus Advektions- und Diffusions-Reaktions-Gleichungen. Die Konvergenzordnung hängt dabei von der Lösungsregularität und der Advektionsgeschwindigkeit ab, für z.B. das stationäre Problem mit der Poiseuille-Strömung ergeben sich die Ordnungen O(epsilon^(1/2)) und O(epsilon^(1/6)) für den örtlichen L2- und H1-Fehler im Strömungsgebiet und O(epsilon^1/3) für den H1-Fehler in der Wand. Verbunden werden hierfür Techniken für qualitative Konvergenzaussagen von Advektions-Diffusionsgleichungen im singulären Grenzwert von verschwindender Diffusion mit einer speziellen Spurabschätzung für die Kopplung über das permeable Interface. Für beide Modelle werden numerische Beispielrechnungen durchgeführt. Für das Plaque-Wachstums-Modell liegt hierbei der Fokus auf der Lösung von zeit-periodischen Navier-Stokes-Gleichungen welche für das Grenzproblem benötigt werden werden, ein existierender Algorithmus wird dabei verbessert. Außerdem wird eine Fehleranalyse für die zeitdiskrete Grenzgleichung durchgeführt, welche verdeutlicht und quantifiziert, dass für die effiziente numerische Lösung eine Balance der verschiedenen Fehlerquellen notwendig ist. Für das zweite Modell wird eine discontinuous Galerkin Diskretisierung vorgestellt und die Übereinstimmung zwischen theoretischen und numerischen Ergebnissen gezeigt. Der Aufbau der Arbeit ist wie folgt. Nach der Einleitung wird im 2. Kapitel eine Übersicht über die Krankheit Atherosklerose und existierende mathematische Modelle gegeben, gefolgt von einer Präsentation und Entdimensionalisierung des Modells von Yang et. al. auf deren Grundlage die Skalierung der später betrachteten Modelle gewählt wird. Kapitel 3 bis 5 beschäftigen sich mit dem Plaque-Wachstums-Modell, im 3. Kapitel in abstrakter Form, um die Mehrskalen-Techniken zu präsentieren, und in Kapitel 4 für das konkrete Modell mit einer Stokes-Gleichung auf einem nicht-zylindrischen Gebiet welches von der Wachstums-Lösung abhängt. Kapitel 5 behandelt die Numerik dieses Modells. Im finalen Kapitel 6 wird die Mehrskalenanalyse und die numerischen Ergebnisse für das zweite Modell der permeablen Wand präsentiert.show moreshow less

Download full text files

Export metadata

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar Statistics
Metadaten
Author:Florian SonnerORCiD
Persistent identifiers - URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus4-165495
Referee:Eberhard Bänsch, Helmut Abels, Arnold Reusken
Advisor:Eberhard Bänsch, Helmut Abels
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of publication:2021
Date of online publication (Embargo Date):2021/06/09
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Acceptance date of the thesis:2021/06/08
Release Date:2021/06/14
Tag:advection-dominated equations; averaging; fast-slow systems; non-cylindrical domains; singular perturbations; time-periodic stokes equations
Length/size:1 - 195
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Department Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 515 Analysis
5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 518 Numerische Analysis
open_access (DINI-Set):open_access
Licence (German):Keine Creative Commons Lizenz - es gilt der Veröffentlichungsvertrag und das deutsche Urheberrecht
Einverstanden ✔
Diese Webseite verwendet technisch erforderliche Session-Cookies. Durch die weitere Nutzung der Webseite stimmen Sie diesem zu. Unsere Datenschutzerklärung finden Sie hier.