Nonlinear Spectral Analysis with Variational Methods

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2020-09-14
Issue Year
2020
Authors
Bungert, Leon
Editor
Abstract

Spectral theory plays an important role in mathematics, natural sciences, and engineering. The Fourier transform allows decomposing signals into individual frequencies. This has applications, e.g., in frequency filtering of audio signals, spectroscopy, medical imaging, and the analysis of partial differential equations. Mathematically, the Fourier transform decomposes functions into eigenfunctions of the Laplacian operator. However, for many non-smooth data sources, like images, such decomposition is not optimally suited. Therefore, nonlinear spectral theory studies eigenfunctions of nonlinear operators, as for instance the p-Laplacian.

In this thesis, nonlinear spectral theory is further developed using variational methods. The work is structured into four published articles and an exposition of these articles and their main ideas. A special focus lies on spectral decompositions and the computation of nonlinear eigenfunctions using gradient flows and variational regularization methods.

Abstract

Spektraltheorie spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik, den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Die Fourier-Transformation ermöglicht die Zerlegung von Signalen in einzelne Frequenzen. Dies kommt beispielsweise bei der Frequenzfilterung von Audiosignalen, Spektroskopie, medizinische Bildgebung und der Analyse partieller Differentialgleichungen zur Anwendung. Mathematisch gesprochen zerlegt die Fourier-Transformation Funktionen in Eigenfunktionen des Laplace-Operators. Für viele nicht-glatte Daten, wie z.B. Bilder, ist eine solche Zerlegung jedoch nicht optimal geeignet. Daher untersucht die nichtlineare Spektraltheorie Eigenfunktionen nichtlinearer Operatoren, wie zum Beispiel des p-Laplace-Operators.

In dieser Arbeit wird die nichtlineare Spektraltheorie mithilfe von Variationsmethoden weiterentwickelt. Die Arbeit gliedert sich in vier veröffentlichte Artikel und eine Darstellung dieser Artikel und ihrer Hauptideen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf Spektralzerlegungen und der Berechnung nichtlinearer Eigenfunktionen unter Verwendung von Gradientenflüssen und variationeller Regularisierung.

DOI
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