Simulation-Based Model Reduction for Partial Differential Equations on Networks

Simulationsbasierte Modelreduktion für partielle Differentialgleichungen auf Netzwerken

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-103749
  • In this thesis, we consider model reduction for parameter dependent parabolic PDEs defined on networks with variable composition. For this type of problem, the Reduced Basis Element Method (RBEM), developed by Maday and Rønquist, is a reasonable choice as a solution on the entire domain is not required. The reduction method is based on the idea of constructing a reduced basis for every individual component and coupling the reduced elements using a mortar-like method. However, this decomposition procedure can lead to difficulties, especially for networks consisting of numerous edges. Due to the variable composition of the networks, the solution on the interfaces is extremely difficult toIn this thesis, we consider model reduction for parameter dependent parabolic PDEs defined on networks with variable composition. For this type of problem, the Reduced Basis Element Method (RBEM), developed by Maday and Rønquist, is a reasonable choice as a solution on the entire domain is not required. The reduction method is based on the idea of constructing a reduced basis for every individual component and coupling the reduced elements using a mortar-like method. However, this decomposition procedure can lead to difficulties, especially for networks consisting of numerous edges. Due to the variable composition of the networks, the solution on the interfaces is extremely difficult to predict. This can lead to unsuitable basis functions and poor approximations of the global solutions. On the basis of networks consisting of one-dimensional domains, we present an extension of the RBEM which remedies this problem and provides a good basis representation for each individual edge. Essentially this extension makes use of a splinebased boundary parametrization in the local basis construction. To substantiate the approximation properties of the basis representation onto the global solution, we develop an error estimate for local basis construction with Proper Orthogonal Decomposition (POD) or POD-Greedy. Additionally, we provide existence, uniqueness and regularity results for parabolic PDEs on networks with one-dimensional domains, which are essential for the error analysis. Finally, we illustrate our method with three examples. The first corresponds to the theory presented and shows two different networks of one-dimensional heat equations with varying thermal conductivity. The second and third problem demonstrates the extensibility of the method to component based domains in two dimensions or nonlinear PDEs. These were parts of the research project Life-cycle oriented optimization for a resource and energy efficient infrastructure, funded by the German Federal Ministry of Education and Research.show moreshow less
  • In dieser Arbeit betrachten wir die Modellreduktion von parameter-abhängigen parabolischen Differentialgleichungen auf Netzwerken mit variabler Anordnung. Für diese Art von Problemstellung ist die Reduced Basis Element Method (RBEM), welche von Maday und Rønquist entwickelt wurde, eine sinnvolle Wahl, da eine Lösung des gesamten Problems nicht erforderlich ist. Die Methode basiert auf der Idee, für jede einzelne Komponente eine eigene reduzierte Basis zu berechnen und diese dann mit Hilfe der Mortar Element Method zu koppeln. Vor allem bei Netzwerken, die aus zahlreichen Kanten bestehen, kann dieses Vorgehen auch zu Schwierigkeiten führen. Auf Grund der variablen Zusammensetzung desIn dieser Arbeit betrachten wir die Modellreduktion von parameter-abhängigen parabolischen Differentialgleichungen auf Netzwerken mit variabler Anordnung. Für diese Art von Problemstellung ist die Reduced Basis Element Method (RBEM), welche von Maday und Rønquist entwickelt wurde, eine sinnvolle Wahl, da eine Lösung des gesamten Problems nicht erforderlich ist. Die Methode basiert auf der Idee, für jede einzelne Komponente eine eigene reduzierte Basis zu berechnen und diese dann mit Hilfe der Mortar Element Method zu koppeln. Vor allem bei Netzwerken, die aus zahlreichen Kanten bestehen, kann dieses Vorgehen auch zu Schwierigkeiten führen. Auf Grund der variablen Zusammensetzung des Netzwerks, ist es extrem schwierig die Lösung an den Schnittstellen vorherzusagen. Dies kann zu unzureichenden Basisfunktionen und somit zu einer schlechten Approximation der globalen Lösung führen. Anhand von Netzwerken, die aus eindimensionalen Gebieten bestehen, präsentieren wir eine Erweiterung der RBEM, welche diese Probleme behebt und für jede einzelne Kante eine gute Basisdarstellung zur Verfügung stellt. Die grundlegende Idee ist die Verwendung einer spline-basierten Randparametrisierung in der lokalen Basiskonstruktion. Um die Approximationseigenschaften unserer Basisfunktionen nachzuweisen, entwickeln wir eine Fehlerabschätzung für die lokale Basiskonstruktion mit POD und POD-Greedy. Zusätzlich zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit sowie Regularitätseigenschaften für parabolische Differentialgleichungen auf Netzwerken, bestehend aus eindimensionalen Gebieten, da diese essentiell für die Fehleranalyse sind. Abschließend veranschaulichen wir unsere Methode anhand von drei Beispielen. Das erste basiert auf der präsentierten Theorie und zeigt zwei unterschiedliche Netzwerke, die aus eindimensionalen Wärmeleitungsgleichungen mit unterschiedlichen Wärmeleitkoeffizienten bestehen. Das zweite und dritte Beispiel zeigt die Erweiterbarkeit unseres Ansatzes auf komponenten-basierte Gebiete in 2D und nichtlineare Differentialgleichungen. Beide Beispiele waren Teil des Forschungsprojektes Lebenszyklus orientierte Optimierung einer ressourcen- und energieeffizienten Infrastruktur, welches durch das deutsche Bundesministerium für Bildung und Forschung finanziert wurde.show moreshow less

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Metadaten
Author:Maximilian Walther
URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus4-103749
DOI:https://doi.org/10.25593/978-3-96147-156-0
ISBN:978-3-96147-156-0
Series (Volume number):FAU Studies Mathematics & Physics (15)
Publisher:FAU University Press
Place of publication:Erlangen
Referee:Günter Leugering, Nicole Marheineke
Advisor:Günter Leugering
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2018
Embargo Date:2019/01/30
Publishing Institution:FAU University Press
Granting Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2017/12/21
Release Date:2019/01/31
Tag:Error Analysis; Model Reduction; Network of parabolic differential equations; POD-Greedy; Proper Orthogonal Decomposition; Reduced Basis Element Method
SWD-Keyword:Ordnungsreduktion; Parabolische Differentialgleichung; POD-Methode; Greedy-Algorithmus; Fehlerrechnung
Pagenumber:x, 183 S.
Note:
Parallel erschienen als Druckausgabe bei FAU University Press, ISBN: 978-3-96147-155-3
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Department Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 518 Numerische Analysis
open_access (DINI-Set):open_access
Collections:Universität Erlangen-Nürnberg / FAU University Press
Licence (German):Creative Commons - CC BY-NC-ND - Namensnennung - Nicht kommerziell - Keine Bearbeitungen 4.0 International