Hybrid Dynamics Comprising Modes Governed by Partial Differential Equations: Modeling, Analysis and Control for Semilinear Hyperbolic Systems in One Space Dimension

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2010-08-31
Issue Year
2010
Authors
Hante, Falk Michael
Editor
Abstract

Hybrid dynamical systems are considered as a design paradigm or multiscale model for networked transport problems. Evolution in time is governed by switching among a family of solutions to vector-valued, semi-linear hyperbolic partial differential equations on a bounded interval in space with reflecting boundary conditions. Existence of generalized solutions and appropriate continuous dependency properties are studied on the discrete-continuous level. In particular, it is shown how the Zeno phenomenon can be avoided, despite the propagation of discontinuities along characteristics resulting from instantanously changing boundary conditions and their interaction with switching rules evaluating pointwise boundary obervation. Moreover, for a given cost function including switching costs, the problem of optimal switching is studied. For scalar equations with boundary switching control, optimality is characterized in terms of a first order necessary condition based on a formula for switching time sensitivity. The results are validated numerically on examples.

Abstract

Es werden diskret-kontinuierliche dynamische Systeme als Konstruktions-Paradigma oder Multiskalen-Modell für vernetzte Transportprozesse betrachtet. Die zeitliche Entwicklung wird bestimmt durch Schalten zwischen Lösungen von vektorwertigen, semilinearen hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen auf einem beschränkten Ortsintervall mit reflektierenden Randbedingungen. Existenz von verallgemeinerten Lösungen und geeignete stetige Abhängigkeitseigenschaften werden auf dem diskret-kontinuierlichen Niveau untersucht. Insbesondere wird gezeigt, wie das Zeno'sche Phänomen vermieden werden kann, trotz der Fortpflanzung von Unstetigkeiten entlang Charakteristiken, die auf abrupten Wechsel der vorgeschriebenen Randbedingungen zurückgehen, sowie deren Interaktion mit Schaltregeln wenn sie punktweise Randbeobachtung auswerten. Darüberhinaus werden für gewisse Kostenfunktionen, die Schaltkosten beinhalten, das Problem des optimalen Schaltens untersucht. Für skalare Gleichungen mit Rand-Schalt-Steuerung wird Optimalität im Sinne notwendiger Bedingungen charakterisiert, die auf einer Formel für Schaltzeit-Sensitivitäten basiert. Die Ergebnisse werden numerisch an Beispielen validiert.

DOI
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