TY - THES A1 - Weller, Stephan T1 - Time discretization for capillary problems T1 - Zeitdiskretisierung für kapillare Probleme N2 - Diese Arbeit vergleicht eine Reihe von Zeitdiskretisierungstechniken für kapillare Strömungen, d.h. Strömungen mit freier Oberfläche und Zweiphasenströmungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Entwicklung von Verfahren die a) von höherer Ordnung (d.h. mindestens zweiter Ordnung) sind, b) absolut stabil sind und c) wenig numerische Dissipativität aufweisen. Zunächst wird die mathematische Modellierung des Problems beschrieben und eine va- riationelle, dimensionslose Beschreibung erarbeitet, die sowohl für einphasige als auch für zweiphasige kapillare Strömungen geeignet ist. Dabei werden allgemeine Lagrange-Euler (ALE) Koordinaten verwendet um ein dem Problem angepasstes, mitbewegtes Gitter benutzen zu können. Mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) werden die Gleichungen im Ort diskretisiert und in eine differential-algebraische Matrix-Vektor-Formulierung umgeschrieben. Mehrere voll implizite und linear implizite Zeitdiskretisierungsverfahren werden vorgestellt, ihre Stabilitäts-, Konvergenz- und Dissipativitätseigenschaften werden diskutiert. Diese Verfah- ren werden dann auf die ortsdiskreten Gleichungen angewendet und es werden voll diskrete, für die Computer-Simulation geeignete Gleichungssysteme hergeleitet. Weiterhin wird ein Raum-Zeit-Galerkin-Verfahren vorgestellt, auch hier werden wieder die Stabilitäts-, Konvergenz- und Dissipativitätseigenschaften diskutiert. Dieses Verfahren wird dann auf die variationelle Formulierung der kapillaren Strömungen angewendet und auch hier ein voll diskretes System hergeleitet. Für das Raum-Zeit-Galerkin-Verfahren wird weiterhin eine Energieabschätzung bewiesen, welche die unbedingte Stabilität des Verfahrens analytisch etabliert. In einem Anwendungsteil werden sodann mehrere ein- und zweiphasige Beispielprobleme vorgestellt und mit den beschriebenen Verfahren gelöst. Mittels der entsprechenden Finite- Elemente-Simulationen werden die Konvergenz- und Dissipativitätseigenschaften numerisch untersucht. Ein abschließender Vergleich stellt die Vor- und Nachteile der verglichenen Verfahren in übersichtlicher Form da. N2 - In this work several time discretization techniques for capillary flows, i.e. either one-phase free surface flow or two-phase flow, are compared. The focus is the development of methods that are a) of higher order (i.e. at least second order), b) unconditionally stable and c) do not suffer from much numerical dissipativity. The mathematical model of the problem is initially described and a variational, dimensionless formulation is given that can be used for both one- and two-phase capillary flows. The formula- tion is in Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) coordinates so a problem-adapted moving mesh can be used. Utilizing the Finite Element Method (FEM) the equations are discretized in space and a differential algebraic matrix-vector formulation is derived. Several fully implicit and linearly implicit time discretization techniques are introduced, their properties with respect to stability, convergence, and dissipativity are discussed. These methods are then applied to discretize the equations in time. Thus fully discrete equations are derived that can be used for computer simulations. Furthermore a space-time Galerkin approach is presented, its stability, convergence and dissipativity properties are discussed as well. This method is then applied to the variational formulation of the capillary flow problems and a fully discrete system is derived. For the space-time approach an energy estimate is proved that establishes the unconditional stability of the method by analytical means. In an application chapter several one- and two-phase exemplary problems are introduced and solved with the described time discretization techniques. Using Finite Element simulations the convergence and dissipativity properties are numerically investigated. A concluding comparison of the methods presents the advantages and drawbacks of all methods that were compared. KW - Numerische Strömungssimulation KW - Mehrphasenströmung KW - Finite-Elemente-Methode KW - Navier-Stokes-Gleichung KW - Zeitdiskretisierung KW - time discretization Y1 - 2015 UR - https://opus4.kobv.de/opus4-fau/frontdoor/index/index/docId/6589 UR - https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bvb:29-opus4-65894 ER -