FG Statistische Physik und Nichtlineare Dynamik
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We investigate the dynamics of a Newtonian liquid layer bounded on one side by a horizontal and planar substrate and on the other side by its free and deformable surface. The system is subjected to a time-periodic gravitation field in lateral or normal direction. Based on a nonlinear coordinate transformation, which maps the time-dependent surface onto a constant domain and thus eliminates the need for tracking the interface, a finite-difference method on staggered grids is presented, allowing direct numerical simulations of the full incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. Taking into account the continuity equation, a sparse linear system for the pressure is obtained from the discretized Navier-Stokes equations whose solution satisfies the conservation of momentum and mass, so that pressure corrections can be avoided. In the case of a harmonic force perpendicular to the substrate, we find in high frequency ranges the classical square patterns oscillating subharmonically with half of the driver’s frequency. For a slow excitation, hexagonal Faraday waves emerge oscillating at the forcing frequency. Vertical two-frequency excitations lead to more complex patterns — surface waves having the shape of a square superlattice are found. In the case of a lateral excitation, the formation of coarsening droplets is observed. We show that ratchet-like forces generate a nonvanishing averaged flow rate inducing a preferred direction of motion of the drops. These results correspond well with those of a simplified model based on the lubrication approximation. Our investigations also include systems in Rayleigh-Taylor configuration, where the liquid is located on the underside of the substrate. By considering rigid walls instead of periodic boundaries, wave amplification due to resonance can be studied. The corresponding numerical results are in good agreement with experimentally obtained data.
Mit Hilfe einer Evolutionsgleichung für die Filmdicke, welche vor kurzem aus der diffusen Grenzflächentheorie und der Näherung langer Wellenlängen abgeleitet wurde [L. M. Pismen und Y. Pomeau, Phys. Rev. E 62, 2480 (2000)], werden die Entnetzungseigenschaften dünner Filme (d < 100nm) auf einem festen Substrat untersucht. Das Diffuse-Grenzflächen-Modell erlaubt es ein Phasendiagramm für stabile und instabile Schichtdickenbereiche sowie für Tropfen- und Lochbereiche zu berechnen. Die zweidimensionale Betrachtung der Dünnfilmgleichung führt zu einer Unterteilung des linear instabilen Schichtdickenbereichs in einen nukleations- und in einen instabilitätsdominierten Bereich. Im Fall einer gekippten Unterlage werden stationäre Lösungsfamilien der zweidimensionalen Gleichung für periodische Randbedingungen bestimmt. Für große Periodenlänge finden sich universelle Lösungen (flache Tropfen), deren Eigenschaften nicht von der mittleren Schichtdicke abhängen. Für größere Neigungswinkel tritt ein weiterer stabiler Lösungszweig auf, welcher einen dynamischen Entnetzungsübergang mit Hysterese erlaubt.
This work deals with static and dynamic properties of thin one- and two-layer liquid films. Regarding one-layer films, we study large scale surface deformations of a liquid film unstable due to the Marangoni effect caused by external heating on a smooth and solid substrate. To prevent rupture, a repelling disjoining pressure is included which accounts for the stabilization of a thin precursor film and so prevents the occurrence of completely dry regions. Linear stability analysis, nonlinear stationary solutions, as well as three-dimensional time dependent numerical solutions for horizontal and inclined substrates reveal a rich scenario of possible structures for several realistic liquid parameters. We also propose two methods to control the structuring of unstable thin films of soft matter. The first one is a non-contact method, where an external disturbance can be used to move a single drop, front or hole in a certain direction. The principle is illustrated by incorporating a sonic disturbance in a thin film equation to study the evolution of ultrathin films unstable due to their wetting properties. The second one is based on inhomogeneous templating of the substrate. Here we study the influence of periodic modulation on coarsening in the long time limit. Finally, the fully nonlinear evolution of a 3D system is presented by numerical integration. Further on, we consider a thin film consisting of two layers of immiscible liquids on a solid horizontal (heated) substrate. Both, the free liquid-liquid and the liquid-gas interface of such a bilayer liquid film may be unstable due to effective molecular interactions relevant for ultrathin layers below 100 nm thickness, or due to temperature-gradient caused Marangoni flows in the heated case. Using a long wave approximation we derive coupled evolution equations for the interface profiles for the general non-isothermal situation allowing for slip at the substrate. Linear and nonlinear analyses of the short- and long-time film evolution are performed for isothermal ultrathin layers taking into account destabilizing long-range and stabilizing short-range molecular interactions. It is shown that the initial instability can be of a varicose, zigzag or mixed type. However, in the nonlinear stage of the evolution the mode type and therefore the pattern morphology can change via switching between two different branches of stationary solutions or via coarsening along a single branch.
Diese Arbeit untersucht Methoden der Ordnungsreduktion schwach nichtlinearer Finite-Elemente und Finite-Differenzen Systeme. Die Nichtlinearitäten werden in einheitlicher Weise mittels einer Taylor Reihenentwicklung parametrisiert. Diese Darstellung dient als Normalform, auf der die Methoden der Ordnungsreduktion operieren. Die Modelle hoher Ordnung werden mittels projektionsbasierter Verfahren auf Systeme mit nur noch wenigen Freiheitsgraden reduziert. Diese Verfahren beruhen auf Krylov-Unterraum Methoden (Arnoldi-Verfahren) und Methoden der Zustandsauswahl (Guyan-Verfahren) für den linearen Fall. Darüberhinaus werden zwei weitere Methoden der nichtlinearen Ordnungsreduktion vorgestellt, das Verfahren der adiabatischen Elimination schnell relaxierender Variablen und das Verfahren der nichtlinearen Frequenzgangsanpassung. Die Eignung der projektiven Reduktionsmethoden wird anhand von akademischen und industrierelevanten Beispielen demonstriert
In dieser Arbeit wird das Verhalten zweier nichtmischbarer überlagerter Fluide (Gase und/oder Flüssigkeiten) untersucht, welche durch horizontale Platten vertikal beschränkt sind. Die betrachteten Effekte beschränken sich im Wesentlichen auf den Einfluss von Gravitations- und Oberflächenspannungseffekten. Dabei werden neben analytischen hauptsächlich numerische Untersuchungen über das Instabilitätsverhalten der Grenzfläche und die resultierende Strukturbildung durchgeführt. Ausgangspunkt sind die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, die Wärmeleitgleichungen und die Kontiniuitätsgleichungen beider Fluidschichten. Die Komplexität dieser Gleichungen erfordert bestimmte Näherungen und deshalb werden zwei Grenzfälle untersucht. Als erste Näherung wird eine undeformierbare Grenzfläche angesetzt. In dieser Näherung wird zum einen die, nur in Mehrschichtsystemen auftretende, Antikonvektion untersucht. Neben analytischen Resultaten in vertikal unendlich ausgedehnten Systemen, werden zum ersten Mal 3D-Simulationen der vollen nichtlinearen Gleichungen gezeigt. Zum anderen wird ein einfaches einseitiges Modell zur Konvektion unter Verdampfung abgeleitet, welches eine Erweiterung des "Pearson"-Modells darstellt, und die resultierende Strukturbildung gezeigt. Eine deformierbare Grenzfläche bei ausschließlicher Untersuchung von langwelligen Instabilitäten führt zur zweiten Näherung: die Schmiermittelnäherung. Nach der Herleitung der Evolutionsgleichung der Grenzfläche werden ihre grundlegenden Eigenschaften diskutiert. Die numerische Integration zeigt die typische Tropfen/Loch-Bildung dieser Systeme.
The goal of this work is to investigate pattern formation processes on the solid-liquid interface during the crystal growth of GeSi. GeSi crystals with cellular structure have great potential for applications in gamma-ray and neutron optics. The interface patterns induce small quasi-periodic distortions of the microstructure called mosaicity. Existence and properties of this mosaicity are important for the application of the crystals. The properties depend on many factors; this dependence, is currently not known even not qualitatively. A better understanding of the physics near the crystal surface is therefore required, in order to optimise the growth process. There are three main physical processes in this system: phasetransition, diffusion and melt flow. Every process is described by its own set of equations. Finite difference methods and lattice kinetic methods are taken for solving these governing equations. We have developed a modification of the kinetic methods for the advectiondiffusion and extended this method for simulations of non-linear reaction diffusion equations. The phase-field method was chosen as a tool for describing the phase-transition. There are numerous works applied for different metallic alloys. An attempt to apply the method directly to simulation GeSi crystal growth showed that this method is unstable. This instability has not been observed in previous works due to the much smaller scale of simulations. We introduced a modified phase-field scheme, which enables to simulate pattern formation with the scale observed in experiment. A flow in the melt was taken in to account in the numerical model. The developed numerical model allows us to investigate pattern formation in GeSi crystals. Modelling shows that the flow near the crystal surface has impact on the patterns. The obtained patterns reproduce qualitatively and in some cases quantitatively the experimental results.
Ein wesentlicher Aspekt der Dynamik elektrischer Aktivitaet in neuronalen Gewebe betrifft die Ausbreitung von Aktivitaet in Form von Wellen. In dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz und Eigenschaften laufender Wellenloesungen einer nichtlinearen Neuronalen-Feld-Gleichung. Das Modell beruecksichtigt die nichtlokalen synaptischen Verbindungen und die Zeitverzoegerung bei der Kommunikation zwischen den Nervenzellen, die abstandsabhaengig ist. Die Modellgleichung hat daher die mathematische Form einer nichtlinearer, retardierter Integralgleichung. In der Arbeit wird zuerst gezeigt, wie man die Modellgleichung durch ein System von partiellen Differentialgleichungen approximieren kann, das leichter numerisch untersucht werden kann. Anschliessend werden laufende Wellenloesungen des Modells numerisch und analytisch untersucht.