FG Mathematik insbesondere Optimierung
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Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Berücksichtigung von Steuerungsbeschränkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enthält die Arbeit zudem eine ausführliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Dafür betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. Für die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird dafür über gewichteten Funktionenräumen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-Räume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausführungen zwischen Problemen über Funktionenräumen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenräumen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zunächst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler Lösungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualität wird hierfür eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenräumen mit Dichtefunktionen hergeleitet. Für diese können schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.