Refine
Document Type
- Doctoral thesis (1)
Has Fulltext
- yes (1)
Is part of the Bibliography
- no (1)
Year of publication
- 2019 (1)
Language
- German (1)
Keywords
- Fourier-Laguerre analysis (1)
- Fourier-Laguerre-Reihen (1)
- Infinite horizon (1)
- Laguerre-Polynome (1)
- Optimal control theory (1)
- Optimale Kontrolle (1)
- Optimale Steuerung (1)
- Spectral methods (1)
- Spektralmethode (1)
- Spektralmethoden (1)
Institute
Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.