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- Stochastische Galerkin-Methode (1)
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Zufällige partielle Differentialgleichungen werden genutzt, um komplexe Systeme in Natur, Physik oder Technik realitätsnäher zu modellieren. In dieser Arbeit wird speziell das stationäre Diffusionsproblem mit zufälligem Koeffizient als lehrreiches Modellproblem betrachtet und mittels der stochastischen Galerkin-Methode unter Verwendung des verallgemeinerten polynomiellen Chaos näherungsweise gelöst. Im Gegensatz zu den üblichen Annahmen, dass der Koeffizient sich durch Konstanten von Null und Unendlich fast sicher trennen lässt oder ein lognormales Zufallsfeld darstellt, wird in der vorliegenden Arbeit für den Koeffizienten nur vorausgesetzt, dass er sich fast sicher durch reellwertige Zufallsgrößen von Null und Unendlich trennen lässt. Unter dieser Voraussetzung werden sowohl eine entsprechende Lösungstheorie für solche Randwertprobleme entwickelt als auch ein geeigneter stochastischer Galerkin-Ansatz zur näherungsweisen Lösung vorgestellt. Dieser stochastische Galerkin-Ansatz basiert auf der Verwendung von verallgemeinertem polynomiellen Chaos und entspricht einem stochastischen Petrov-Galerkin-Ansatz aufgrund der Gewichtung der Testfunktionen durch eine entsprechende reellwertige Zufallsgröße. Die Eigenschaften des verallgemeinerten polynomiellen Chaos werden genutzt, um das Konvergenzverhalten der Folge dieser stochastischen Galerkin-Lösungen in der natürlichen Norm zu untersuchen und A-priori-Fehlerabschätzungen anzugeben. Es wird außerdem gezeigt, dass der standardmäßige stochastische Galerkin-Ansatz in diesem Fall nicht notwendigerweise eine Folge von stochastischen Galerkin-Lösungen liefert, die in der natürlichen Norm gegen die exakte Lösung konvergiert.