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The basic filters in mathematical morphology are dilation and erosion. They are defined by a structuring element that is usually shifted pixel-wise over an image, together with a comparison process that takes place within the corresponding mask. This comparison is made in the grey value case by means of maximum or minimum formation. Hence, there is easy access to max-plus algebra and, by means of an algebra change, also to the theory of linear algebra.
We show that an approximation of the maximum function forms a commutative semifield (with respect to multiplication) and corresponds to the maximum again in the limit case. In this way, we demonstrate a novel access to the logarithmic connection between the Fourier transform and the slope transformation. In addition, we prove that the dilation by means of a Fast Fourier Transform depends only on the size of the structuring element used. Moreover, we derive a bound above which the Fourier approximation yields results that are exact in terms of grey value quantization.
Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen des Dirichlet-Problems für harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von Jäger und Kaul dar, welches durch Abschätzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen Hülle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann’schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geodätischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache Überdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung gewährleistet. Diese Aussage lässt sich in dem Sinne erweitern, dass die Lösung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus über das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich führen wir diese Methode am Beispiel der Poincaré’schen Halbebene vor.