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Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.
Zufällige partielle Differentialgleichungen werden genutzt, um komplexe Systeme in Natur, Physik oder Technik realitätsnäher zu modellieren. In dieser Arbeit wird speziell das stationäre Diffusionsproblem mit zufälligem Koeffizient als lehrreiches Modellproblem betrachtet und mittels der stochastischen Galerkin-Methode unter Verwendung des verallgemeinerten polynomiellen Chaos näherungsweise gelöst. Im Gegensatz zu den üblichen Annahmen, dass der Koeffizient sich durch Konstanten von Null und Unendlich fast sicher trennen lässt oder ein lognormales Zufallsfeld darstellt, wird in der vorliegenden Arbeit für den Koeffizienten nur vorausgesetzt, dass er sich fast sicher durch reellwertige Zufallsgrößen von Null und Unendlich trennen lässt. Unter dieser Voraussetzung werden sowohl eine entsprechende Lösungstheorie für solche Randwertprobleme entwickelt als auch ein geeigneter stochastischer Galerkin-Ansatz zur näherungsweisen Lösung vorgestellt. Dieser stochastische Galerkin-Ansatz basiert auf der Verwendung von verallgemeinertem polynomiellen Chaos und entspricht einem stochastischen Petrov-Galerkin-Ansatz aufgrund der Gewichtung der Testfunktionen durch eine entsprechende reellwertige Zufallsgröße. Die Eigenschaften des verallgemeinerten polynomiellen Chaos werden genutzt, um das Konvergenzverhalten der Folge dieser stochastischen Galerkin-Lösungen in der natürlichen Norm zu untersuchen und A-priori-Fehlerabschätzungen anzugeben. Es wird außerdem gezeigt, dass der standardmäßige stochastische Galerkin-Ansatz in diesem Fall nicht notwendigerweise eine Folge von stochastischen Galerkin-Lösungen liefert, die in der natürlichen Norm gegen die exakte Lösung konvergiert.