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Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird für Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, für welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalitätsbedingung enthalten.
An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularitäten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel für Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in natürlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevräumen angehören. Das erklärt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips für Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide Sätze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenräume Hilberträume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel für Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der Hölderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gewöhnlichen Differentialrechnung benötigt, um mittels des Beweises der Äquivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz für ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erfüllten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularitäten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum für Steuerungsprobleme mit Singularitäten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes lässt sich explizit nachprüfen, welche analytischen Eigenschaften für die Lösung zu erwarten sind.
Toruswirkungen auf algebraischen Varietäten eröffnen eine nützliche Verbindung zwischen algebraischer Geometrie auf der einen Seite und Kombinatorik und Konvexgeometrie auf der anderen. Allgemeine Konzepte wie Divisoren oder die Auflösung von Singularitäten übersetzen sich in -- häufig einfacher zu verstehende -- Pendants in der konvexen Geometrie. Inhalt dieser Dissertation ist es, sich diese Verbindung zu Nutze machend, Methoden und Hilfsmittel zu entwickeln um Klassifikationsprobleme für Varietäten mit Toruswirkungen, sogenannte T-Varietäten, bearbeiten zu können. Eine wichtige Voraussetzung für die Klassifikation von algebraischen Varietäten ist die Beschränkung der auftretenden Singularitäten. Großen Raum in dieser Arbeit nimmt daher das Studium von Singularitäten auf T-Varietäten und deren Auflösung ein. Unverzichtbar dabei ist das Verständnis eigentlicher Abbildungen und Divisoren, denen sich folglich jeweils ein eigenes Kapitel widmet. In der Arbeit werden drei konkrete Klassifikationsprobleme eingehender betrachtet: die Klassifikation von log-Del-Pezzo-Flächen mit beschränktem Gorenstein-Index, von multigraduierten faktoriellen Ringen und von lokal faktoriellen Fano-T-Varietäten vom Picard-Rang eins. Die beiden letztgenannten Probleme sind dabei eng mit einander verbunden. Die betrachteten faktoriellen Ringe sind gerade die Cox-Ringe der Fano-T-Varietäten. Um diesen Zusammenhang herauszuarbeiten, widmet sich ein eigenes Kapitel den Cox-Ringen von T-Varietäten.