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Motivated by computing functionals of high-dimensional, potentially metastable diffusion processes, this thesis studies robustness issues appearing in the numerical approximation of expectation values and their gradients. A major challenge being high variances of corresponding estimators, we investigate importance sampling of stochastic processes for improving statistical properties and provide novel nonasymptotic bounds on the relative error of corresponding estimators depending on deviations from optimality. Numerical strategies that aim to come close to those optimal sampling strategies can be encompassed in the framework of path space measures, and minimizing suitable divergences between those measures suggests a variational formulation that can be addressed in the spirit of machine learning. A key observation is that while several natural choices of divergences have the same unique minimizer, their finite sample properties differ vastly. We provide the novel log-variance divergence, which turns out to have favorable robustness properties that we investigate theoretically and apply in the context of path space measures as well as in the context of densities, for instance offering promising applications in Bayesian variational inference.
Aiming for optimal importance sampling of diffusions is (more or less) equivalent to solving Hamilton-Jacobi- Bellman PDEs and it turns out that our numerical methods can be equally applied for the approximation of rather general high-dimensional semi-linear PDEs. Motivated by stochastic representations of elliptic and parabolic boundary value problems we refine variational methods based on backward SDEs and provide the novel diffusion loss, which can be related to other state-of-the-art attempts, while offering certain numerical advantages.
Machine-Learning-Verfahren in der Produktlinienoptimierung - Simulationsrechnungen und Robustheit
(2021)
Die Produktlinienoptimierung auf Basis der Conjointanalyse ist eines der wichtigsten Probleme der Marketingforschung. Das Ziel der Produktlinienoptimierung ist das Identifizieren einer optimalen Produktlinie bzgl. des Gewinns und Marktanteils. Für die Modellierung der Auswahlwahrscheinlichkeiten der Produkte unter Berücksichtigung der Konsumentenpräferenzen werden deterministische und probabilistische Entscheidungsregeln verwendet. Darauf aufbauend werden für jede Entscheidungsregel jeweils eine Gewinn- und eine Marktanteilsmaximierungszielfunktion aus der Literatur ausgewählt. Als Kombinatorisches Optimierungsproblem ist die Produktlinienoptimierung NP-hard, wodurch die Berechnung der Optima schon bei mittelgroßen Problemgrößen nicht mehr möglich ist. Aus diesem Grund sind Verfahren aus dem Machine-Learning nötig, um die Optima in angemessener Rechenzeit zu approximieren. Die verwendeten Machine-Learning-Verfahren sind Genetische Algorithmen, das Min-Max Ant-System, Particle-Swarm-Optimization und Simulated Annealing, deren Parameter in Abhängigkeit der Problemgröße adaptiv definiert werden. Durch einen neuartigen Clusteransatz können Genetische Algorithmen das deterministische Produktlinienoptimierungsproblem im Sinn der Zielfunktionswertqualität am besten lösen. Das Min-Max Ant-System mit lokaler Suche ist am besten für die deterministische Gewinnmaximierung geeignet. Für die Zielfunktionen mit probabilistischer Entscheidungsregel zeigt sich das Min-Max-System ohne lokale Suche als überlegen. Für die Untersuchung der Robustheit der hierarchischen Bayes-Schätzung wird ein realer Datensatz verwendet. Die Robustheit wird maßgeblich durch die Wahl der Entscheidungsregel beeinflusst. Die Zielfunktionen mit probabilistischer Entscheidungsregel reagieren robust auf die hierarchische Bayes-Schätzung, wohingegen die Zielfunktionen mit deterministischer Entscheidungsregel sehr sensitiv auf sich verändernde Konsumentenpräferenzen reagieren.