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Die vorliegende Arbeit behandelt für eine breite Klasse zweidimensionaler Variationsprobleme eine Existenz- und Regularitätstheorie, die der Lösung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dient. Dabei werden bekannte Ergebnisse gründlich untersucht und umfassend aufgearbeitet. Teilweise wird eine geeignete Anpassung der Voraussetzungen einiger Resultate vorgenommen. Speziell wird die Theorie auf das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung im R3 angewendet. Eingangs wird das Konzept der direkten Methoden der Variationsrechnung erläutert. Über einen fundamentalen Satz zur schwachen Unterhalbstetigkeit von Funktionalen wird die Existenz eines Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen nachgewiesen. Da die Existenztheorie in Sobolev-Räumen agiert, sind Untersuchungen zur Regularität eines Minimierers notwendig. Im Rahmen der Regularitätstheorie wird das Dirichletsche Wachstumstheorem von Morrey gezeigt, welches ein hinreichendes Kriterium für die Hölder-Stetigkeit einer Funktion X ∈ W1,2(G) liefert. Zum Nachweis der Anwendbarkeit des Dirichletschen Wachstumstheorems auf einen Minimierer wird ein Wachstumslemma verwendet. Dabei werden eine Verknüpfung des Dirichlet-Integrals mit Fourierreihen sowie das Dirichlet- Integral der harmonischen Ersetzung einer Funktion mit L2-Randwerten genutzt. Infolgedessen ergibt sich die Hölder-Stetigkeit im Inneren für einen Minimierer. Zudem wird die Stetigkeit des Minimierers bis zum Rand gezeigt, sodass die Existenz eines stetigen Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen gesichert ist. Anschließend erfolgt die Berechnung der ersten Variation sowie die damit verbundene Herleitung der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung, welche eine Beziehung zur Lösungstheorie von Differentialgleichungen im Sinne des Dirichletschen Prinzips herstellt.
Ausgehend von der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung wird die Hölder-Stetigkeit
der ersten Ableitungen eines Minimierers bewiesen. Für die Lösung von Randwertproblemen mit partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe der Variationsrechnung ist der Nachweis stetiger zweiter Ableitungen des Minimierers notwendig. Dabei wird der Fokus auf sogenannte Minimierer vom Poissonschen Typ gelegt. Eine C2,σ-Rekonstruktion, die auf der Schaudertheorie basiert, liefert in diesem Fall die gewünschte Regularität. In Anwendung dessen werden das Randwertproblem harmonischer Abbildungen in Riemannschen Räumen sowie das Dirichletproblem des H-Flächen-Systems behandelt, indem jeweils ein geeignetes Variationsproblem aufgestellt wird. Als Erweiterung des Dirichletproblems des H-Flächen-Systems wird das allgemeine
Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung mit den erarbeiteten Methoden der Variationsrechnung untersucht. Zudem wird das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung in Kugeln, in Zylindern sowie insbesondere im Einheitskegel gelöst. Insgesamt wird eine ausführliche, in sich geschlossene und gut verständliche Existenzund Regularitätstheorie der zweidimensionalen Variationsrechnung zur Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dargestellt, welche sich in besonderer Weise bei der Lösung des Plateauschen Problems für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung entfaltet.
In wire-arc additive manufacturing, a wire is molten by an electrical or laser arc and deposited droplet-by-droplet to construct the desired workpiece, given as a set of two-dimensional layers. The weld source can move freely over a substrate plate, processing each layer, but there is also the possibility of moving without welding. A primary reason for stress inside the material is the large thermal gradient caused by the weld source, resulting in lower product quality. Thus, it is desirable to control the temperature of the workpiece during the process. One way of its optimization is the trajectory of the weld source. We consider the problem of finding a trajectory of the moving weld source for a single layer of an arbitrary workpiece that maximizes the quality of the part and derive a novel mixed-integer PDE-constrained model, including the calculation of a detailed temperature distribution measuring the overall quality. The resulting optimization problem is linearized and solved using the state-of-the-art numerical solver IBM CPLEX. Its performance is examined by several computational studies.
Since the beginning of its development in the 1950s, mixed integer programming (MIP) has been used for a variety of practical application problems, such as sequence optimization. Exact solution techniques for MIPs, most prominently branch-and-cut techniques, have the advantage (compared to heuristics such as genetic algorithms) that they can generate solutions with optimality certificates. The novel process of additive manufacturing opens up a further perspective for their use. With the two common techniques, Wire Arc Additive Manufacturing (WAAM) and Laser Powder Bed Fusion (LPBD), the sequence in which a given component geometry must be manufactured can be planned. In particular, the heat transfer within the component must be taken into account here, since excessive temperature gradients can lead to internal stresses and warpage after cooling. In order to integrate the temperature, heat transfer models (heat conduction, heat radiation) are integrated into a sequencing model. This leads to the problem class of MIPDECO: MIPs with partial differential equations (PDEs) as further constraints. We present these model approaches for both manufacturing techniques and carry out test calculations for sample geometries in order to demonstrate the feasibility of the approach.
We present a general numerical solution method for control problems with PDE-defined state variables over a finite set of binary or continuous control variables. We show empirically that a naive approach that applies a numerical discretization scheme to the PDEs (and if necessary a linearization scheme) to derive constraints for a mixed-integer linear program (MILP) leads to systems that are too large to be solved with state-of-the-art solvers for MILPs, especially if we desire an accurate approximation of the state variables. Our framework comprises two techniques to mitigate the rise of computation times with increasing discretization level parameters:
First, the linear system is solved for a basis of the control space in a preprocessing step. Second, certain constraints are just imposed on demand via the IBM ILOG CPLEX feature of a lazy constraint callback. These techniques are compared with an approach where the relations obtained by the discretization of the continuous constraints are directly included in the MILP. We demonstrate our approach on two examples: modeling of the spread of wildfire and the mitigation of water contamination. In both examples the computational results demonstrate that the solution time is significantly reduced by our methods. In particular, the dependence of the computation time on the size of the spatial discretization of the PDE is significantly reduced.