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Numerical investigation and extension of quadrature-based moment methods for population balances
(2023)
Particulate systems can be described by a number density function (NDF) with respect to a vector of internal coordinates. The evolution of the NDF is governed by the typically high-dimensional population balance equation (PBE). A common approach to reduce the dimensionality of the problem is to solve only for a set of moments instead of the NDF. The derived system of moment equations, however, includes unclosed integral terms that still contain the unknown NDF. One way to close the system of moment equations is to approximate the unclosed integral terms using a Gaussian quadrature computed from the moments. The procedure of taking a set of moments to compute a Gaussian quadrature, which is, in turn, used to close the moment equations, is known as the quadrature method of moments (QMOM). It gave rise to an entire family of methods, the quadrature-based moment methods (QBMMs), which are the primary focus of this work. The presented research can be divided into three major parts. The first part involves the formulation of a common Lagrangian droplet breakup model for QBMMs and the numerical investigation with the QMOM as well as the more sophisticated extended QMOM (EQMOM). The results indicate that the approximations are reasonably accurate when at least six moment equations are solved, with the EQMOM providing no advantages for the investigated configurations. In the second part, a quadrature-based moment model for the effects of fluid turbulence on particle velocities is formulated. The resulting moment equations contain non-smooth integrands that are the source of large errors when using common QBMMs. As an alternative, the Gauss/anti-Gauss QMOM (GaG-QMOM) is proposed that uses the average of a Gaussian and an anti-Gaussian quadrature. Numerical studies show that the GaG-QMOM is able to significantly reduce the previously observed large errors. Another novelty proposed in this context is the modification of the second-order strong-stability preserving Runge-Kutta method to guarantee the preservation of moment realizability in the presence of phase-space diffusion. The third part is concerned with the numerical exploration of the core algorithm of most QBMMs in terms of performance and accuracy. The algorithm consists of, first, computing the recurrence coefficients of the orthogonal polynomials associated with a set of moments, second, solving a symmetric tridiagonal eigenvalue problem to obtain the quadrature nodes and weights, and third, evaluating the integral terms in the moment equations. The results indicate that the contribution of the first step to compute the recurrence coefficients from moments to the overall computational costs is negligible. Instead, the primary focus should be on the fast solution of the eigenvalue problem and, possibly, on the efficient implementation of the moment source term evaluation, which becomes important when second-order processes are considered.
Solving differential equations is still a topic of major interest, due to their appearance in many fields of science and engineering and a classic approach with neural networks builds upon trial solutions, the so-called neural forms. The latter are incorporated in a cost function that is subject to minimisation, to train the involved neural networks. Neural forms represent general and flexible tools for solving ordinary differential equations, partial differential equations as well as systems of each. However, the computational approach is in general highly dependent on a variety of computational parameters and the choice of the optimisation methods. Studying the solution of a simple but fundamental stiff ordinary differential equations with small feedforward neural networks and first order optimisation shows, that it is possible to identify preferable choices for parameters and methods. The neural network weight initialisation appears to be a sensitive topic, while having a major impact on the solution accuracy. Especially the use of non-random (deterministic) weights partially shows poor performance, but removes a stochastic component. Further research reveals, that a new polynomial representation of the neural forms can significantly increase the reliability of a deterministic initialisation (all weights have initially the same values assigned). In order to maintain smaller neural network architectures and solve the differential equation, even on fairly large domains, a new technique called domain segmentation (for initial value problems) is introduced. The solution domain splits into equidistant subdomains and the above-mentioned collocation polynomial neural forms are solved separately in each domain fragment. At the boundary of any subdomain, a new initial value is provided by the neural forms solution and directly incorporated in the adjacent one. In classic adaptive numerical methods for solving differential equations, the mesh as well as the domain may be refined or decomposed, respectively, in order to improve numerical accuracy. The subdomain distribution can also be connected with an adaptive refinement. That is, the neural network training status is combined with an adaptive subdomain size reduction in the new adaptive neural domain refinement algorithm. That is, each subdomain is reduced in size until the optimisation is resolved up to a predefined training accuracy. In addition, while the neural networks are by default small, the number of neurons may also be adjusted in an adaptive way. Conditions are introduced to automatically confirm the solution reliability and optimise computational parameters whenever it is necessary.
Single-use Bioreaktoren sind im biopharmazeutischen Umfeld etabliert und werden heute vor allem im F&E-Bereich sowie bei der klinischen Produktion von biopharmazeutischen Produkten eingesetzt. Für die Herstellung solcher Produkte werden vielfach die single-use Bioreaktoren von Sartorius Stedim Biotech (UniVessel® SU und der BIOSTAT® STR) und Thermo Scientific (S.U.B.) genutzt, deren Eignung auf Basis ihrer Strömungseigenschaften in dieser Arbeit diskutiert wird. Hierfür wird sowohl eine grundlegende als auch eine erweiterte, örtlich und zeitlich betrachtende verfahrenstechnische Charakterisierung durchgeführt. Die für Zellkulturbioreaktoren verfahrenstechnisch relevanten Parameter, wie der spezifische Leistungseintrag, die Mischzeit, der Sauerstoffübergang werden durch etablierte, experimentelle Methoden bis zu einem Maßstab von 50 L bestimmt. Mittels der örtlichen und zeitlich auflösenden numerischen Strömungsmechanik (engl.: Computational Fluid Dynamics, CFD) werden Prozessgrößen verglichen und detaillierte Strömungsverläufe beschrieben. Die experimentelle Betrachtung des Strömungsverhaltens und der Fluidgeschwindigkeiten sowie der Vergleich der experimentell und numerisch erhaltenen verfahrenstechnischen Parameter dienen der Validierung der CFD-Modelle bis zum 50 L Maßstab. Auf Basis der validierten CFD-Modelle erfolgt die numerische Bestimmung der verfahrenstechnischen Parameter für die unterschiedlichen single-use Bioreaktoren bis zu den jeweiligen maximalen Arbeitsvolumen von 1000 L (BIOSTAT® STR) bzw. 2000 L (S.U.B.). Aufgrund der verfahrenstechnischen Parameter sind die betrachteten single-use Kultivierungssysteme vergleichbar mit konventionellen Zellkulturbioreaktoren (aus Glas oder Edelstahl) und zeigen eine Skalierbarkeit auf. Eine detailliertere Betrachtung zur Maßstabsübertragung basiert auf den Mischzeit und den mittleren, lokalen Schergradienten. Beide Parameter zeigen eine Abhängigkeit zur Reaktor- und Rührergeometrie, zum spezifischen Leistungseintrag und zum Volumen, wodurch sich deren Bestimmung durch die Etablierung zweier Gleichungen für die aufgeführten single-use Bioreaktoren realisieren lässt. Die numerisch erhaltenen verfahrenstechnischen Parameter werden schließlich für die Prozessauslegung und -entwicklung eines Modellprotein-Produktionsprozesses mit CHO-Zellen herangezogen. Das üblicherweise eingesetzte Kriterium einer Maßstabsübertragung - der spezifische Leistungseintrag - zeigt dabei nur bedingt erfolgversprechende Ergebnisse für die Prozessauslegung auf. Hingegen werden mit den numerischen Mischzeiten und den mittleren, lokalen Schergradienten als Kriterien zur Maßstabsübertragung wesentlich höhere maximale Lebendzelldichten erhalten. Zusätzlich sind die gemessenen maximalen Lebendzellzahlen für die Labor- und Pilotmaßstäbe reproduzierbar. Des Weiteren wird für die Prozessentwicklung die Quantität der Proteinexpression des biphasischen Produktionsprozesses (mit CHO XM 111-10 Zellen) herangezogen. Nach der Proteininduktion mittels eines etablierten single-use Crossflow-Verfahrens werden Proteinkonzentrationen bis 60 U/mL gemessen. Die aus den Produktionsprozessen gewonnenen Resultate lassen dabei auf die vorteilhafte Nutzung der single-use Bioreaktoren von Sartorius Stedim Biotech schließen und zeigen die Möglichkeit einer CFD-basierten Prozessauslegung auf. Die numerische Herangehensweise kann resultierend auch als Grundlage für weitere moderne Produktionsprozesse, wie beispielsweise für die Stammzellexpansionen, dienen.
Powerful, smooth, compact and light combined with multi-fuel capability are the main features of the rotary engine. The Wankel engine superb power-to-weight ratio and reliability make it not only suitable for automobile application, but also particularly well suited to aircraft engine use and it can replace the reciprocating piston engine in many areas of use such as sport cars, motorcycle, boats, and small power generation units etc. Since the physics that taking place inside Wankel engine combustion chambers are exceedingly complex, a numerical CFD studies were obtained to understand the unsteady, multidimensional fluid flow and fuel-air mixing inside the combustion chamber of the Wankel rotary engine during the intake and compression cycles. The effects of the engine combustion chamber design and operating parameters on fluid flow and fuel-air mixture formation were investigated: engine velocity, direction of fuel injection into the combustion chamber, with emphasize on diesel and hydrogen injection fuels. The injector nozzle size, injected fuel velocity, the position of injector and angle of injection were also investigated.