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Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird für Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, für welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalitätsbedingung enthalten.
An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularitäten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel für Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in natürlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevräumen angehören. Das erklärt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips für Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide Sätze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenräume Hilberträume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel für Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der Hölderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gewöhnlichen Differentialrechnung benötigt, um mittels des Beweises der Äquivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz für ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erfüllten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularitäten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum für Steuerungsprobleme mit Singularitäten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes lässt sich explizit nachprüfen, welche analytischen Eigenschaften für die Lösung zu erwarten sind.
In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zulässigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalität testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung berücksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es Sätze über Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate über die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesgueräumen über einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes für die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingeführte Zustandsbeschränkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualitätstheorie für Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenräumen und die Herleitung hinreichender Optimalitätsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Klötzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualitätstheorie werden hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschwächte Version dieser Bedingungen unter Berücksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele präsentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zulässigen Bereichen führen oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abhängigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen Sätze wird ausführlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.