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Stochastic models and optimal control of epidemics under partial information

Stochastische Modelle und optimale Steuerung von Epidemien unter unvollständiger Information

  • In this thesis, we develop a mathematical framework to estimate the compartment sizes of an epidemic model with some unobserved compartments (i.e., a model with partial information) and formulate a social planner's stochastic optimal control problem for such an epidemic. Including asymptomatic and unreported infectious individuals in the model allows a more realistic description of the course of an epidemic and avoids misleading estimation. In order to estimate the unobservable states, a suitable description of the dynamics of the epidemic progression by a diffusion approximation is achieved using counting processes. The estimation of the unobservable states is attributed to a stochastic filter problem. To solve this problem, we use the extended Kalman filter, which provides approximate solutions for such non-standard filter problems. This approach is applied to the state estimation of a model with incomplete information for a disease with lifelong immunity after recovery or vaccination. Simulations are carried out to demonstrate theIn this thesis, we develop a mathematical framework to estimate the compartment sizes of an epidemic model with some unobserved compartments (i.e., a model with partial information) and formulate a social planner's stochastic optimal control problem for such an epidemic. Including asymptomatic and unreported infectious individuals in the model allows a more realistic description of the course of an epidemic and avoids misleading estimation. In order to estimate the unobservable states, a suitable description of the dynamics of the epidemic progression by a diffusion approximation is achieved using counting processes. The estimation of the unobservable states is attributed to a stochastic filter problem. To solve this problem, we use the extended Kalman filter, which provides approximate solutions for such non-standard filter problems. This approach is applied to the state estimation of a model with incomplete information for a disease with lifelong immunity after recovery or vaccination. Simulations are carried out to demonstrate the effectiveness of this approach in practice. The main part of this work addresses a social planner's stochastic optimal control problem for an epidemic model with a partially observed state process. It decomposes the population into susceptible, detected and non-detected infected, detected and non-detected recovered, and hospitalized individuals. Control measures include social distancing, testing, and vaccination. We apply a filtering argument to transform the partially observable stochastic optimal control problem into a completely observable control problem by replacing the hidden state process with the associated Kalman filter processes. This transformed problem with an eight-dimensional state process is treated as a Markov decision process after a time discretization. The associated Bellman equation is solved numerically using a backward recursion algorithm combined with state discretization and quantization techniques to mitigate the curse of dimensionality. In particular, two approaches are implemented. The first involves state discretization and linear interpolation of the value function between grid points, while the second utilizes state discretization and parameterization of the value function with educated ansatz functions. Extensive numerical experiments are presented to demonstrate the effectiveness of both approximate optimal controls in containing the epidemic. Finally, we generalize the results of Picard (1991) on the efficiency of the continuous-time extended Kalman filter with small noise scaled by a parameter ε>0. First, we show that when the observation drift coefficient is strongly injective and the signal and observation drift become linear for ε → 0, the estimation error is of order √ε. Subsequently, we establish conditions under which the error in the initial filter estimate decays exponentially fast.show moreshow less
  • Diese Arbeit behandelt mathematische Methoden zur Schätzung der Kompartimentgrößen eines Epidemiemodells mit nicht beobachtbaren Kompartimenten (d.h. ein Modell mit unvollständiger Information) und formuliert ein stochastisches Optimierungsproblem für einen gesellschaftlichen Entscheidungsträger. Die Einbeziehung asymptomatischer und nicht gemeldeter Infektionen ermöglicht eine realistischere Beschreibung des Epidemieverlaufs und vermeidet fehlerhafte Schätzungen. Die zur Beschreibung des Epidemieverlaufs verwendeten Zählprozesse werden zunächst durch Diffusionsprozesse approximiert. Die Schätzung der nicht beobachtbaren Zustände führt auf ein stochastisches Filterproblem in Nicht-Standard Form. Zur näherungsweisen Lösung wird der erweiterte Kalman-Filter verwendet. Dieser Ansatz wird auf die Zustandsschätzung eines Modells mit unvollständiger Information für eine Krankheit mit lebenslanger Immunität nach Genesung oder Impfung angewendet. Die durchgeführten Simulationen demonstrieren die Wirksamkeit dieses Ansatzes in der Praxis.Diese Arbeit behandelt mathematische Methoden zur Schätzung der Kompartimentgrößen eines Epidemiemodells mit nicht beobachtbaren Kompartimenten (d.h. ein Modell mit unvollständiger Information) und formuliert ein stochastisches Optimierungsproblem für einen gesellschaftlichen Entscheidungsträger. Die Einbeziehung asymptomatischer und nicht gemeldeter Infektionen ermöglicht eine realistischere Beschreibung des Epidemieverlaufs und vermeidet fehlerhafte Schätzungen. Die zur Beschreibung des Epidemieverlaufs verwendeten Zählprozesse werden zunächst durch Diffusionsprozesse approximiert. Die Schätzung der nicht beobachtbaren Zustände führt auf ein stochastisches Filterproblem in Nicht-Standard Form. Zur näherungsweisen Lösung wird der erweiterte Kalman-Filter verwendet. Dieser Ansatz wird auf die Zustandsschätzung eines Modells mit unvollständiger Information für eine Krankheit mit lebenslanger Immunität nach Genesung oder Impfung angewendet. Die durchgeführten Simulationen demonstrieren die Wirksamkeit dieses Ansatzes in der Praxis. Der Hauptteil dieser Arbeit behandelt ein stochastisches optimales Kontrollproblem eines Entscheidungsträgers für ein Epidemiemodell mit einem unvollständig beobachtbaren Zustandsprozess. Es unterteilt die Bevölkerung in anfällige, erkannte und nicht erkannte infizierte, erkannte und nicht erkannte genesene sowie hospitalisierte Personen. Zu den Kontrollmaßnahmen gehören Social Distancing, Tests und Impfungen. Das unvollständig beobachtbare stochastische optimale Kontrollproblem in ein vollständig beobachtbares Problem umgewandelt, indem der verborgene Zustandsprozess durch die zugehörigen Kalman-Filterprozesse ersetzt wird. Dieses transformierte Problem mit einem achtdimensionalen Zustandsprozess wird nach Zeitdiskretisierung als Markovscher Entscheidungsprozess behandelt. Die zugehörige Bellman-Gleichung wird numerisch unter Verwendung einer Rückwärtsrekursion in Kombination mit Zustandsdiskretisierungs- und Quantisierungstechniken gelöst, um den Fluch dem Dimensionalität zu begegnen. Es werden zwei Ansätze implementiert. Der erste umfasst die Zustandsdiskretisierung und lineare Interpolation der Wertfunktion zwischen Gitterpunkten, während der zweite die Zustandsdiskretisierung und Parametrisierung der Wertfunktion mit geeignet gewählten Ansatzfunktionen nutzt. Ergebnisse umfangreicher numerische Experimente zeigen die Wirksamkeit beider approximativer optimaler Kontrollen bei der Eindämmung der Epidemie. Schließlich verallgemeinern wir die Ergebnisse von Picard (1991) zur Effizienz des zeitstetigen erweiterten Kalman-Filters mit schwachem Rauschen, skaliert durch einen Parameter ε>0. Wir zeigen, dass, wenn der Driftkoeffizient der Beobachtungen stark injektiv ist und die Signal- und Beobachtungsdrift für ε → 0 linear werden, der Schätzfehler von der Größenordnung √ε ist. Weiterhin finden wir Bedingungen, unter denen der Fehler in der anfänglichen Filterschätzung exponentiell schnell abklingt.show moreshow less

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Metadaten
Author:Ibrahim Mbouandi Njiasse
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71272
DOI:https://doi.org/10.26127/BTUOpen-7127
Referee / Advisor:Ralf Wunderlich, Rüdiger Frey, Wilfried Grecksch
Document Type:Doctoral thesis
Language:English
Year of Completion:2025
Date of final exam:2025/06/30
Release Date:2025/09/08
Tag:Dynamische Programmierung; Erweiterter Kalman-Filter; Kompartimentmodell; Stochastische optimale Steuerung; Teilinformationen
Compartmental model; Dynamic programming; Extended Kalman filter; Partial information; Stochastic optimal control
GND Keyword:Dynamische Optimierung; Kompartimentmodell; Kalman-Filter; Stochastische optimale Kontrolle
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Wirtschaftsmathematik
Licence (German):License LogoCreative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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