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Spektraltheorie von unbeschränkten Jacobi-Operatoren im Hilbertschen Folgenraum und Sturm-Liouville-Problemen vom Atkinson-Typ

Spectral theory of unbounded Jacobi operators in the Hilbert sequence space and Sturm-Liouville problems of Atkinson type

  • Zur aktuellen Forschung regulärer Sturm-Liouville-Probleme (SLP) gehört eine durch F. Atkinson definierte Klasse von Differentialgleichungen, deren Spektraltheorie unabhängig von der Operatorentheorie entwickelt wurde. In der vorliegenden Arbeit wählen wir einen neuen Zugang über die Theorie der unbeschränkten Hermiteschen Operatoren: Zu den SLP vom Atkinson-Typ werden äquivalente Matrix-Eigenwertprobleme AY = λY konstruiert, deren unendlich-dimensionale Matrizen A eine tridiagonale Gestalt besitzen. Die Matrizen A können aufgefasst werden als unbeschränkte Hermitesche Jacobi-Operatoren H des Hilbertschen Folgenraumes – jene Operatoren H sind mittels der Cayley-Transformation fortsetzbar zu (nicht eindeutigen) selbstadjungierten Operatoren S ⊃ H. Dabei werden die jeweiligen S durch die separierten Randbedingungen des zugrundeliegenden SLP charakterisiert. Hinsichtlich der Spektralanalyse wird der abstrakte Spektralsatz mit einbezogen, gemäß welchem eine Stieltjes-Integraldarstellung zur Resolventen des Operators S existiert. DieZur aktuellen Forschung regulärer Sturm-Liouville-Probleme (SLP) gehört eine durch F. Atkinson definierte Klasse von Differentialgleichungen, deren Spektraltheorie unabhängig von der Operatorentheorie entwickelt wurde. In der vorliegenden Arbeit wählen wir einen neuen Zugang über die Theorie der unbeschränkten Hermiteschen Operatoren: Zu den SLP vom Atkinson-Typ werden äquivalente Matrix-Eigenwertprobleme AY = λY konstruiert, deren unendlich-dimensionale Matrizen A eine tridiagonale Gestalt besitzen. Die Matrizen A können aufgefasst werden als unbeschränkte Hermitesche Jacobi-Operatoren H des Hilbertschen Folgenraumes – jene Operatoren H sind mittels der Cayley-Transformation fortsetzbar zu (nicht eindeutigen) selbstadjungierten Operatoren S ⊃ H. Dabei werden die jeweiligen S durch die separierten Randbedingungen des zugrundeliegenden SLP charakterisiert. Hinsichtlich der Spektralanalyse wird der abstrakte Spektralsatz mit einbezogen, gemäß welchem eine Stieltjes-Integraldarstellung zur Resolventen des Operators S existiert. Die Sprungstellen der Belegungsfunktion ϱ(λ) entsprechen den Eigenwerten von S; zugleich stimmen sie überein mit den Eigenwerten des SLP vom Atkinson-Typ. Jene Sprungstellen sind lokalisierbar mittels der Theorie orthogonaler Polynome. Hierbei werden spezielle Polynome des Askey-Schemas betrachtet, für welche ϱ(λ) eine orthogonalisierende Belegungsfunktion darstellt. Wesentlich sind die Polynome für die Konstruktion holomorpher Funktionen, deren Nullstellen den Eigenwerten des SLP entsprechen.show moreshow less
  • Current research on regular Sturm-Liouville problems (SLP) includes a class of differential equations defined by F. Atkinson, whose spectral theory has been developed independently of operator theory. In this thesis, we introduce a novel approach through the theory of unbounded Hermitian operators: for SLP of Atkinson type, equivalent matrix eigenvalue problems AY = λY are constructed, where the infinite-dimensional matrices A have a tridiagonal form. The matrices A can be viewed as unbounded Hermitian Jacobi operators H of the Hilbert sequence space – these operators H can be extended to (non-unique) self-adjoint operators S ⊃ H via the Cayley transformation. The respective S are characterized by the separated boundary conditions of the underlying SLP. Regarding the spectral analysis, the abstract spectral theorem is incorporated, according to which there exists a Stieltjes integral representation for the resolvent of the operator S. The jump discontinuities of the weight function ϱ(λ) correspond to the eigenvalues of S; at theCurrent research on regular Sturm-Liouville problems (SLP) includes a class of differential equations defined by F. Atkinson, whose spectral theory has been developed independently of operator theory. In this thesis, we introduce a novel approach through the theory of unbounded Hermitian operators: for SLP of Atkinson type, equivalent matrix eigenvalue problems AY = λY are constructed, where the infinite-dimensional matrices A have a tridiagonal form. The matrices A can be viewed as unbounded Hermitian Jacobi operators H of the Hilbert sequence space – these operators H can be extended to (non-unique) self-adjoint operators S ⊃ H via the Cayley transformation. The respective S are characterized by the separated boundary conditions of the underlying SLP. Regarding the spectral analysis, the abstract spectral theorem is incorporated, according to which there exists a Stieltjes integral representation for the resolvent of the operator S. The jump discontinuities of the weight function ϱ(λ) correspond to the eigenvalues of S; at the same time, they coincide with the eigenvalues of the SLP of Atkinson type. Those jump discontinuities can be localized using the theory of orthogonal polynomials. Here we consider special polynomials of the Askey scheme which are orthogonal with respect to the weight function ϱ(λ). Using the polynomials, holomorphic functions are constructed whose zeros correspond to the eigenvalues of the SLP.show moreshow less

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Metadaten
Author: Sören Tschierse
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-67421
DOI:https://doi.org/10.26127/BTUOpen-6742
Referee / Advisor:Prof. Dr. Friedrich Sauvigny, Prof. Dr. Gerhard Ströhmer, Prof. Dr. Hans Volkmer
Document Type:Doctoral thesis
Language:German
Year of Completion:2023
Date of final exam:2023/08/02
Release Date:2024/07/10
Tag:Q-Laguerre Polynome; Selbstadjungierte Fortsetzungen; Spektralsatz; Sturm-Liouville-Theorie; Unbeschränkte Jacobi-Operatoren
Q-Laguerre polynomials; Self-adjoint extensions; Spectral theorem; Sturm-Liouville theory; Unbounded Jacobi operators
GND Keyword:Sturm-Liouville-Problem; Spektraltheorie; Hilbert-Raum; Selbstadjungierter Operator; Jacobi-Operator
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Analysis
Licence (German):Creative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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