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Optimization problem of portfolios with an illiquid asset

Ein Optimierungsproblem für Portfolios mit einer illiquiden Position

  • This work is devoted to the problem of liquidity that draws a lot of attention after the global financial crisis. We consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a riskless liquid asset. We work in Merton’s optimal consumption framework with continuous time. The liquid part of the investment is described by a standard Black-Scholes market. The illiquid asset is sold at an exogenous random moment with prescribed distribution and generates additional liquid wealth dependent on its paper value. We show that one can consider a problem with infinite time horizon and special weight function that is characterized by the probability distribution of the liquidation time instead of a problem with an exogenous random liquidation time. Using the viscosity solution techniques, developed for the problem of optimization in presence of a random income, we prove the existence and uniqueness of the solution for the considered problem with logarithmic utility and modest restrictions on the liquidation time distribution.This work is devoted to the problem of liquidity that draws a lot of attention after the global financial crisis. We consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a riskless liquid asset. We work in Merton’s optimal consumption framework with continuous time. The liquid part of the investment is described by a standard Black-Scholes market. The illiquid asset is sold at an exogenous random moment with prescribed distribution and generates additional liquid wealth dependent on its paper value. We show that one can consider a problem with infinite time horizon and special weight function that is characterized by the probability distribution of the liquidation time instead of a problem with an exogenous random liquidation time. Using the viscosity solution techniques, developed for the problem of optimization in presence of a random income, we prove the existence and uniqueness of the solution for the considered problem with logarithmic utility and modest restrictions on the liquidation time distribution. We find asymptotic bounds for the value function when liquidation time has exponential or Weibull distribution. We find optimal policies in a feedback form and illustrate how they differ from classical Merton’s policies. Through a Lie group analysis we find the admitted Lie algebra for a problem with general liquidation time distribution in cases of HARA and log utility functions and formulate corresponding theorems for all these cases. Using these Lie algebras we obtain reduced equations of the lower dimension for the studied three dimensional partial differential equations. Several of similar substitutions were used in other works before, whereas others are new to our knowledge. The applied method of Lie group analysis gives us the possibility to provide a complete set of non-equivalent substitutions and reduced equations that was not provided for the problem of such type so far. Further research of these equations with numerical and quantitative methods is expected to benefit from such analysis.show moreshow less
  • Diese Arbeit ist dem in der globalen Finanzkrise hochaktuellen Problem der Liquidität gewidmet. Wir betrachten ein Optimierungsproblem für ein Portfolio mit einer illiquiden, und einer liquiden risikoreichen und risikolosen Position. Wir arbeiten im Rahmen des Mertonschen optimalen Verbrauchsproblems mit stetiger Zeit. Der liquide Anteil der Investitionen wird mit dem klassischen Black-Scholes Marktmodell beschrieben. Die illiquide Position wird an einem exogenen zufälligen Zeitpunkt mit einer vorgeschriebenen Verteilung verkauft und erzeugt ein zusätzliches liquides Vermögen welches von seinem Bilanzierungswert abhängig ist. Wir zeigen, dass man ein Problem mit einem unendlichen Zeithorizont und einer speziellen Gewichtsfunktion, die durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Liquidationszeit T bestimmt wird, anstelle des Problems mit einer exogenen zufälligen Liquidationszeit betrachten kann. Unter Ausnutzung der Methode der viskosen Lösungen, die für Optimierungsprobleme in Anwesenheit von zufälligen Einkünften entwickelt wurde,Diese Arbeit ist dem in der globalen Finanzkrise hochaktuellen Problem der Liquidität gewidmet. Wir betrachten ein Optimierungsproblem für ein Portfolio mit einer illiquiden, und einer liquiden risikoreichen und risikolosen Position. Wir arbeiten im Rahmen des Mertonschen optimalen Verbrauchsproblems mit stetiger Zeit. Der liquide Anteil der Investitionen wird mit dem klassischen Black-Scholes Marktmodell beschrieben. Die illiquide Position wird an einem exogenen zufälligen Zeitpunkt mit einer vorgeschriebenen Verteilung verkauft und erzeugt ein zusätzliches liquides Vermögen welches von seinem Bilanzierungswert abhängig ist. Wir zeigen, dass man ein Problem mit einem unendlichen Zeithorizont und einer speziellen Gewichtsfunktion, die durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Liquidationszeit T bestimmt wird, anstelle des Problems mit einer exogenen zufälligen Liquidationszeit betrachten kann. Unter Ausnutzung der Methode der viskosen Lösungen, die für Optimierungsprobleme in Anwesenheit von zufälligen Einkünften entwickelt wurde, beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für das betrachtete Problem mit der logarithmischen Nutzenfunktion und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Liquidationszeit unter minimalen Beschränkungen. Wir finden asymptotische Schranken für die Wertfunktion wenn die Liquidationszeit eine exponentielle oder eine Weibull - Verteilung hat. Wir finden optimale Strategien in der Feedback-Form und zeigen wie sich diese von klassischen Mertonschen Strategien unterscheiden. Mit Hilfe von Lie Gruppenanalyse finden wir alle Lie Algebren für ein Problem mit einer allgemeinen Liquidationszeitverteilung in Fällen von HARA und logarithmischen Nutzenfunktionen und formulieren entsprechende Theoreme für alle diese Fälle. Wir benutzen diese Lie Algebren um die untersuchten dreidimensionalen partiellen Differentialgleichungen auf Gleichungen niedrigerer Dimensionen zu reduzieren. Mehrere ähnliche Substitutionen wurden bereits früher in anderen Arbeiten benutzt, andere sind unserem Wissen nach neu. Der benutzte Methode der Lie Gruppenanalyse gibt uns die Möglichkeit, einen kompletten Satz von nicht äquivalenten Substitutionen und die entsprechenden reduzierten Gleichungen zu finden was für Probleme von diesem Typ bisher nicht möglich war. Es ist zu erwarten, dass weitere Untersuchungen dieser Gleichungen mit numerischen und qualitativen Methoden davon profitieren können.show moreshow less

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Metadaten
Author: Ivan P. Yamshchikov
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-39922
Referee / Advisor:Prof. Dr. Ralf Wunderlich, Prof. Dr. Ljudmila Bordag
Document Type:Doctoral thesis
Language:English
Year of Completion:2016
Date of final exam:2016/04/25
Release Date:2016/11/02
Tag:Finanzliquidität; Optimierung; Zufällige Liquidationszeit
Illiquididty; Lie symmetries; Portfolio optimization
GND Keyword:Finanzwirtschaft; Liquidität; Optimierung
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Wirtschaftsmathematik
Licence (German):Keine Lizenz vergeben. Es gilt das deutsche Urheberrecht.
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