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Lösung des Dirichletproblems für G-minimale Graphen mit einer Kontinuitäts- und Approximationsmethode

Solution of the Dirichlet problem for G-minimal graphs with a continuity and approximation method

  • Wir betrachten das Dirichletproblem für sogenannte $G$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalflächentyp, welche sich als Graph über einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix $G$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung für diese Höhenfunktion her. Dann lösen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten $\Omega$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuitäts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zunächst eine a priori $C^{1+\alpha}$-Abschätzung der Lösung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen $C^{2+\alpha}$-Gebieten und $C^{2+\alpha}$-Randdaten zurückziehen. Mit einem Satz über die Graphenstabilität und -kompaktheit lösen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuitätsmethode. Anschließend führen wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. MitWir betrachten das Dirichletproblem für sogenannte $G$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalflächentyp, welche sich als Graph über einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix $G$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung für diese Höhenfunktion her. Dann lösen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten $\Omega$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuitäts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zunächst eine a priori $C^{1+\alpha}$-Abschätzung der Lösung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen $C^{2+\alpha}$-Gebieten und $C^{2+\alpha}$-Randdaten zurückziehen. Mit einem Satz über die Graphenstabilität und -kompaktheit lösen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuitätsmethode. Anschließend führen wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. Mit einem Approximationsargument und einem parametrischen Kompaktheitssatz lösen wir schließlich das ursprüngliche Dirichletproblem.zeige mehrzeige weniger
  • We consider the Dirichlet problem for so-called $G$-minimal graphs in two dimensions. This are immersions of minimal surface type which can be presented as graphs over a planar domain. With the aid of a weight matrix $G$ we derive a quasilinear elliptic and homogen differential equation for this height function. Then we solve the Dirichlet problem over convex domains $\Omega$ without differentiability assumptions and continuous boundary data with a constructive continuity and approximation method. We first derive an a priori $C^{1+\alpha}$-estimate up to the boundary of the solution as we take the dense problem class of strictly convex $C^{2+\alpha}$-domains and $C^{2+\alpha}$-boundary data. By proving theorems on graph stability and graph compactness we solve this boundary value problem with a nonlinear continuity method. Then we introduce weighted conformal parameters in the graph and consider the parametric problem on the unit disk. Finally, we solve the original Dirichlet problem by using an approximation argument and theWe consider the Dirichlet problem for so-called $G$-minimal graphs in two dimensions. This are immersions of minimal surface type which can be presented as graphs over a planar domain. With the aid of a weight matrix $G$ we derive a quasilinear elliptic and homogen differential equation for this height function. Then we solve the Dirichlet problem over convex domains $\Omega$ without differentiability assumptions and continuous boundary data with a constructive continuity and approximation method. We first derive an a priori $C^{1+\alpha}$-estimate up to the boundary of the solution as we take the dense problem class of strictly convex $C^{2+\alpha}$-domains and $C^{2+\alpha}$-boundary data. By proving theorems on graph stability and graph compactness we solve this boundary value problem with a nonlinear continuity method. Then we introduce weighted conformal parameters in the graph and consider the parametric problem on the unit disk. Finally, we solve the original Dirichlet problem by using an approximation argument and the important parametric compactness theorem.zeige mehrzeige weniger

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Metadaten
Verfasserangaben: Claudia Szerement
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-22088
Gutachter / Betreuer:Prof.Dr. Friedrich Sauvigny
Dokumentart:Dissertation
Sprache:Deutsch
Erstellungsjahr:2011
Datum der Abschlussprüfung:10.06.2011
Datum der Freischaltung:23.06.2011
Freies Schlagwort / Tag:Dirichletproblem; Gewichtete Differentialgeometrie; Graphen vom Minimalflächentyp; Kontinuitätsmethode
Continuity method; Dirichlet problem; Graphs of minimal surface type; Weighted differential geometry
GND-Schlagwort:Dirichlet-Problem; Minimalfläche; Approximation
Fakultät / Fachgebiet:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Analysis
Name der Einrichtung zum Zeitpunkt der Publikation:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Analysis
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