Inter-sample avoidance in trajectory planning via an integer-polytope formulation for mixed-integer optimization

Vermeidung von Kollisionen zwischen diskreten Zeitpunkten in der Trajektorienplanung mittels eines ganzzahligen Polytops für gemischt-ganzzahlige Optimierungsprobleme

  • Autonomous vehicles such as drones or mobile robots must plan trajectories that avoid static obstacles. Their dynamics are captured by Newton’s laws and discretized numerically, so the vehicle’s position is tracked only at finitely many sample points. The resulting information gap allows a path to cut through an obstacle while still appearing feasible at all samples, a phenomenon called corner cutting. Finer time grids mitigate but never eliminate this artefact and increase computation time. We propose a new inter-sample avoidance scheme for polyhedral obstacles. The facet-defining half-spaces partition the three-dimensional mission space into sub-domains that we encode with binary sign vectors. Feasible one-step moves correspond to a specific subset of these vectors; we (i) enumerate that set exhaustively and (ii) give an integer-polytope formulation that enforces it without additional state variables or extra time steps. For planar motion with a single triangular no-fly zone we prove that the formulation is tight-the polytopeAutonomous vehicles such as drones or mobile robots must plan trajectories that avoid static obstacles. Their dynamics are captured by Newton’s laws and discretized numerically, so the vehicle’s position is tracked only at finitely many sample points. The resulting information gap allows a path to cut through an obstacle while still appearing feasible at all samples, a phenomenon called corner cutting. Finer time grids mitigate but never eliminate this artefact and increase computation time. We propose a new inter-sample avoidance scheme for polyhedral obstacles. The facet-defining half-spaces partition the three-dimensional mission space into sub-domains that we encode with binary sign vectors. Feasible one-step moves correspond to a specific subset of these vectors; we (i) enumerate that set exhaustively and (ii) give an integer-polytope formulation that enforces it without additional state variables or extra time steps. For planar motion with a single triangular no-fly zone we prove that the formulation is tight-the polytope equals the convex hull of its 0/1 points. The method is compared qualitatively with existing inter-sample avoidance techniques and its limitations are discussed. Computational experiments with a mixed-integer linear programming model for UAV mission planning, solved by Gurobi, demonstrate that the new formulation achieves realistic trajectories at competitive, or lower, solution times.show moreshow less
  • Autonome Fahrzeuge wie Drohnen oder mobile Roboter müssen Routen planen, die statische Hindernisse umgehen. Ihre Dynamik wird durch die Newtonschen Gesetze erfasst und numerisch diskretisiert, sodass die Position des Fahrzeugs nur an einer endlichen Anzahl von Zeitpunkten verfolgt wird. Die daraus resultierende Informationslücke ermöglicht es, dass eine Route ein Hindernis durchschneidet und dennoch zu allen Zeitpunkten als machbar erscheint – ein Phänomen, das als „Corner Cutting“ bezeichnet wird. Feinere Zeitraster mildern dieses Artefakt, können es jedoch nie vollständig beseitigen und erhöhen zudem die Rechenzeit. Wir schlagen ein neues Schema zur Vermeidung von Hindernissen zwischen den Zeitpunkten für polyedrische Hindernisse vor. Die facettendefinierenden Halbräume unterteilen den dreidimensionalen Missionsraum in Teilgebiete, die wir mit binären Vorzeichenvektoren kodieren. Machbare Ein-Schritt-Bewegungen entsprechen einer bestimmten Teilmenge dieser Vektoren; wir (i) zählen diese Menge vollständig auf und (ii) geben eineAutonome Fahrzeuge wie Drohnen oder mobile Roboter müssen Routen planen, die statische Hindernisse umgehen. Ihre Dynamik wird durch die Newtonschen Gesetze erfasst und numerisch diskretisiert, sodass die Position des Fahrzeugs nur an einer endlichen Anzahl von Zeitpunkten verfolgt wird. Die daraus resultierende Informationslücke ermöglicht es, dass eine Route ein Hindernis durchschneidet und dennoch zu allen Zeitpunkten als machbar erscheint – ein Phänomen, das als „Corner Cutting“ bezeichnet wird. Feinere Zeitraster mildern dieses Artefakt, können es jedoch nie vollständig beseitigen und erhöhen zudem die Rechenzeit. Wir schlagen ein neues Schema zur Vermeidung von Hindernissen zwischen den Zeitpunkten für polyedrische Hindernisse vor. Die facettendefinierenden Halbräume unterteilen den dreidimensionalen Missionsraum in Teilgebiete, die wir mit binären Vorzeichenvektoren kodieren. Machbare Ein-Schritt-Bewegungen entsprechen einer bestimmten Teilmenge dieser Vektoren; wir (i) zählen diese Menge vollständig auf und (ii) geben eine ganzzahlige Polytopformulierung an, die sie ohne zusätzliche Zustandsvariablen oder zusätzliche Zeitschritte sicherstellt. Für planare Bewegungen mit einer einzigen dreieckigen Flugverbotszone beweisen wir, dass die Formulierung effizient ist – das Polytop entspricht der konvexen Hülle seiner 0/1-Punkte. Die Methode wird qualitativ mit bestehenden Techniken zur Vermeidung von Hindernissen zwischen den Zeitpunkten verglichen und ihre Grenzen werden diskutiert. Rechenexperimente mit einem gemischt-ganzzahligen linearen Optimierungsmodell für die Missionsplanung von UAVs, gelöst von Gurobi, zeigen, dass die neue Formulierung realistische Routen bei konkurrenzfähigen oder niedrigeren Rechenzeiten erzielt.show moreshow less

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Metadaten
Author:Johannes SchmidtORCiD, Armin FügenschuhORCiD
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71697
DOI:https://doi.org/10.26127/BTUOpen-7169
Series (Serial Number):Cottbus Mathematical Preprints (34, 2025)
Document Type:Working paper
Language:English
Year of Completion:2025
Release Date:2025/12/03
Tag:Gemischt-ganzzahlige Optimierung; Konvexe Hülle; Trajektorienplanung; Unbemannte Luftfahrzeuge
Convex hull; Inter-sample avoidance; Mixed-integer optimization; Trajectory planning; Unmanned aerial vehicles
GND Keyword:Drohne (Flugkörper); Autonomes System; Bahnplanung; Gemischt-ganzzahlige Optimierung; Konvexe Hülle
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Ingenieurmathematik und Numerik der Optimierung
Licence (German):License LogoCreative Commons - CC BY-NC-ND - Namensnennung - Nicht kommerziell - Keine Bearbeitungen 4.0 International
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