Numerical solution of SPDEs on a class of two-dimensional domains and of random differential equations using PCE with exponential time differencing

Numerische Lösung von SPDEs auf einer Klasse zweidimensionaler Gebiete und von zufälligen Differentialgleichungen mittels PCE und exponentiellen Zeitschrittverfahren

  • The first part of this thesis deals with the numerical solution of semilinear parabolic stochastic partial differential equations on general two-dimensional C²-bounded domains. The existing exponential Euler time stepping scheme is used on two-dimensional domains, using a spectral approximation in space. Since the base functions are not given analytically, they are numerically approximated using a boundary element method combined with a contour integral method to solve nonlinear eigenvalue problems. An error analysis is given, and numerical experiments conclude the investigation of the method. The second part of the thesis compares the performance of non-intrusive and intrusive polynomial chaos expansion methods based on exponential time differencing schemes for a range of random ordinary and partial differential equations. It is shown in comprehensive numerical experiments that the two approaches are competitive for a range of different equations, but intrusive polynomial chaos becomes less efficient for polynomialThe first part of this thesis deals with the numerical solution of semilinear parabolic stochastic partial differential equations on general two-dimensional C²-bounded domains. The existing exponential Euler time stepping scheme is used on two-dimensional domains, using a spectral approximation in space. Since the base functions are not given analytically, they are numerically approximated using a boundary element method combined with a contour integral method to solve nonlinear eigenvalue problems. An error analysis is given, and numerical experiments conclude the investigation of the method. The second part of the thesis compares the performance of non-intrusive and intrusive polynomial chaos expansion methods based on exponential time differencing schemes for a range of random ordinary and partial differential equations. It is shown in comprehensive numerical experiments that the two approaches are competitive for a range of different equations, but intrusive polynomial chaos becomes less efficient for polynomial nonlinearities of degree greater than two and breaks down for a reaction-diffusion equation exhibiting complex pattern formation behavior.show moreshow less
  • Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird die numerische Lösung semilinearer parabolischer stochastischer Differentialgleichungen auf zweidimensionalen C²-berandeten Gebieten untersucht. Das exponential Euler-Verfahren aus der Literatur wird auf zweidimensionale Gebiete angewandt, wobei eine spektrale Approximation im Raum benutzt wird. Da die Basisfunktionen nicht analytisch gegeben sind, müssen sie numerisch approximiert werden, wofür eine Randelementmethode in Kombination mit einer Konturintegralmethode zur Lösung nichtlinearer Eigenwertprobleme benutzt wird. Nach der Durchführung einer Fehleranalyse wird die Untersuchung dieser Methode mit numerischen Experimenten abgeschlossen. Der zweite Teil der Arbeit vergleicht die Leistungsfähigkeit nicht-intrusiver und intrusiver polynomieller Chaos-Methoden unter Benutzung exponentieller Integratoren für eine Reihe zufälliger ordinärer und partieller Differentialgleichungen. Es wird in umfangreichen numerischen Experimenten demonstriert, dass die zwei Methoden für die LösungIm ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird die numerische Lösung semilinearer parabolischer stochastischer Differentialgleichungen auf zweidimensionalen C²-berandeten Gebieten untersucht. Das exponential Euler-Verfahren aus der Literatur wird auf zweidimensionale Gebiete angewandt, wobei eine spektrale Approximation im Raum benutzt wird. Da die Basisfunktionen nicht analytisch gegeben sind, müssen sie numerisch approximiert werden, wofür eine Randelementmethode in Kombination mit einer Konturintegralmethode zur Lösung nichtlinearer Eigenwertprobleme benutzt wird. Nach der Durchführung einer Fehleranalyse wird die Untersuchung dieser Methode mit numerischen Experimenten abgeschlossen. Der zweite Teil der Arbeit vergleicht die Leistungsfähigkeit nicht-intrusiver und intrusiver polynomieller Chaos-Methoden unter Benutzung exponentieller Integratoren für eine Reihe zufälliger ordinärer und partieller Differentialgleichungen. Es wird in umfangreichen numerischen Experimenten demonstriert, dass die zwei Methoden für die Lösung verschiedener Gleichungen vergleichbar performant sind. Die intrusive polynomielle Chaos-Methode ist jedoch weniger effizient für polynomielle Nichtlinearitäten vom Grad größer als zwei und liefert keine korrekten Ergebnisse für Reaktions-Diffusionsgleichungen, deren Lösungen komplexe Musterbildung aufweisen.show moreshow less

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Metadaten
Author:Julian Clausnitzer
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-70206
DOI:https://doi.org/10.26127/BTUOpen-7020
Referee / Advisor:Andreas KleefeldORCiD, Michael Breuß, Annika LangORCiD
Document Type:Doctoral thesis
Language:English
Year of Completion:2024
Date of final exam:2024/12/04
Release Date:2025/05/23
Tag:Dissertation; Polynomielles Chaos; Randintegralmethode; Spektralmethode; Stochastische partielle Differentialgleichungen
Boundary integral method; Exponential time differencing; Polynomial chaos; Random differential equation; SPDE
GND Keyword:Numerisches Verfahren; Stochastische partielle Differentialgleichung; Zufällige Differentialgleichung; Wiener-Chaos-Zerlegung
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Angewandte Mathematik
Licence (German):License LogoCreative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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