Lösung des Dirichletproblems für G-minimale Graphen mit einer Kontinuitäts- und Approximationsmethode

Solution of the Dirichlet problem for G-minimal graphs with a continuity and approximation method

  • Wir betrachten das Dirichletproblem für sogenannte $G$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalflächentyp, welche sich als Graph über einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix $G$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung für diese Höhenfunktion her. Dann lösen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten $\Omega$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuitäts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zunächst eine a priori $C^{1+\alpha}$-Abschätzung der Lösung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen $C^{2+\alpha}$-Gebieten und $C^{2+\alpha}$-Randdaten zurückziehen. Mit einem Satz über die Graphenstabilität und -kompaktheit lösen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuitätsmethode. Anschließend führen wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. MitWir betrachten das Dirichletproblem für sogenannte $G$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalflächentyp, welche sich als Graph über einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix $G$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung für diese Höhenfunktion her. Dann lösen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten $\Omega$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuitäts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zunächst eine a priori $C^{1+\alpha}$-Abschätzung der Lösung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen $C^{2+\alpha}$-Gebieten und $C^{2+\alpha}$-Randdaten zurückziehen. Mit einem Satz über die Graphenstabilität und -kompaktheit lösen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuitätsmethode. Anschließend führen wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. Mit einem Approximationsargument und einem parametrischen Kompaktheitssatz lösen wir schließlich das ursprüngliche Dirichletproblem.show moreshow less
  • We consider the Dirichlet problem for so-called $G$-minimal graphs in two dimensions. This are immersions of minimal surface type which can be presented as graphs over a planar domain. With the aid of a weight matrix $G$ we derive a quasilinear elliptic and homogen differential equation for this height function. Then we solve the Dirichlet problem over convex domains $\Omega$ without differentiability assumptions and continuous boundary data with a constructive continuity and approximation method. We first derive an a priori $C^{1+\alpha}$-estimate up to the boundary of the solution as we take the dense problem class of strictly convex $C^{2+\alpha}$-domains and $C^{2+\alpha}$-boundary data. By proving theorems on graph stability and graph compactness we solve this boundary value problem with a nonlinear continuity method. Then we introduce weighted conformal parameters in the graph and consider the parametric problem on the unit disk. Finally, we solve the original Dirichlet problem by using an approximation argument and theWe consider the Dirichlet problem for so-called $G$-minimal graphs in two dimensions. This are immersions of minimal surface type which can be presented as graphs over a planar domain. With the aid of a weight matrix $G$ we derive a quasilinear elliptic and homogen differential equation for this height function. Then we solve the Dirichlet problem over convex domains $\Omega$ without differentiability assumptions and continuous boundary data with a constructive continuity and approximation method. We first derive an a priori $C^{1+\alpha}$-estimate up to the boundary of the solution as we take the dense problem class of strictly convex $C^{2+\alpha}$-domains and $C^{2+\alpha}$-boundary data. By proving theorems on graph stability and graph compactness we solve this boundary value problem with a nonlinear continuity method. Then we introduce weighted conformal parameters in the graph and consider the parametric problem on the unit disk. Finally, we solve the original Dirichlet problem by using an approximation argument and the important parametric compactness theorem.show moreshow less

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Metadaten
Author: Szerement, Claudia
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-22088
Referee / Advisor:Prof.Dr. Sauvigny, Friedrich
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Year of Completion:2011
Date of final exam:2011/06/10
Release Date:2011/06/23
Tag:Dirichletproblem; Gewichtete Differentialgeometrie; Graphen vom Minimalflächentyp; Kontinuitätsmethode
Continuity method; Dirichlet problem; Graphs of minimal surface type; Weighted differential geometry
GND Keyword:Approximation; Dirichlet-Problem; Minimalfläche
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Analysis
Institution name at the time of publication:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Analysis