Beiträge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont

Contributions to the theory of infinite horizon optimal control problems

  • In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 GewichtsfunktionenIn der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zulässigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalität testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung berücksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es Sätze über Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate über die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesgueräumen über einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes für die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingeführte Zustandsbeschränkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualitätstheorie für Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenräumen und die Herleitung hinreichender Optimalitätsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Klötzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualitätstheorie werden hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschwächte Version dieser Bedingungen unter Berücksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele präsentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zulässigen Bereichen führen oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abhängigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen Sätze wird ausführlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.show moreshow less
  • The present doctoral thesis provides a contribution to the theory of optimal control problems with infinite horizon. This class of problems mainly arises while dealing with macroeconomic models like the Ramsey model and its various generalizations as well as biological models like prey-predator models. One of the key ideas of this work is the choice of a weighted Sobolev- and weighted Lebesgue space for the role of state and control space respectively. This idea is consequently followed through all the chapters and the properties of these weighted functional spaces are used with benefit in order to prove theoretical results. Another crucial idea is the introduction of an additional pure state constraint into the problem statement. Under certain assumptions it yields the existence of an optimal solution which is otherwise not necessarily given. There are three weight functions in the problem setting which are newly to define for each particular model. These are the weight func tion in the objective, the weight function for weightingThe present doctoral thesis provides a contribution to the theory of optimal control problems with infinite horizon. This class of problems mainly arises while dealing with macroeconomic models like the Ramsey model and its various generalizations as well as biological models like prey-predator models. One of the key ideas of this work is the choice of a weighted Sobolev- and weighted Lebesgue space for the role of state and control space respectively. This idea is consequently followed through all the chapters and the properties of these weighted functional spaces are used with benefit in order to prove theoretical results. Another crucial idea is the introduction of an additional pure state constraint into the problem statement. Under certain assumptions it yields the existence of an optimal solution which is otherwise not necessarily given. There are three weight functions in the problem setting which are newly to define for each particular model. These are the weight func tion in the objective, the weight function for weighting the processes and the weight function from the state constraint. The interplay of them is to observe while testing the process for the strong local optimality after introducing an additional weight function for weighting the neighborhood of the candidate process. The thesis covers two groups of theoretical investigations. Firstly, there are theorems concerning semicontinuity of integral functionals with Lebesgue interpretation of the integral together with results about continuity of Nemytskij operators defined and acting in weighted Lebesgue spaces over sets of infinite measure. The named results serve as a fundament for formulation of an existence theorem for considered problem whose proof is based on the scheme of generalized Weierstraß theorem. The introduced state constraint plays hereby a crucial role. Secondly, there are results on duality theory for control problems and derivation of sufficient optimality cond itions. Here a dual problem in the sense of Klötzler is constructed which is an infinite dimensional optimization problem. Using the developed duality theory one obtains second order sufficient conditions for strong local optimality. Taking the active state constraints into account, a weakened version of this theorem is provided. All theoretical results are reinforced through application of them onto several numerical examples. Further on, the necessity of strong distinction between different interpretations of the integral in the objective is demonstrated by an example. The choice of different integral notions can lead to different feasible sets of the underlying optimal control problem as well as to completely different optimal values of the objective in dependence on the used integral notion. For this reason in the present work it is consequently distinguished between the integral notions of Lebesgue and Riemann. The applicability of the proved theorems is demonstrated i n detail on a resource allocation model, the linear Ramsey model as well as the model of optimal renewal of a technical resource.show moreshow less

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Metadaten
Author: Lykina, Valeriya
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615
Referee / Advisor:Prof. Dr. rer. nat. Pickenhain, Sabine
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Year of Completion:2010
Date of final exam:2010/05/11
Release Date:2010/06/24
Tag:Existenzsatz; Gewichtete Funktionenräume; Hinreichende Optimalitätsbedingungen; Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont
Existence theorem; Infinite horizon; Optimal control; Sufficient optimality conditions; Weighted functional spaces
GND Keyword:Analysis; Optimale Kontrolle
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Mathematik insbesondere Optimierung
Institution name at the time of publication:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Optimierung