Das Pontrjaginsche Maximumprinzip für eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschränkung und seine Anwendung

Pontryagin's maximum principle for a class of hybrid optimal control problems with state constraints and applications

  • In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu gehörenden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschränkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgewählten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel führt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es möglich, beim Vergleich zulässigerIn der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu gehörenden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschränkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgewählten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel führt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es möglich, beim Vergleich zulässiger Trajektorien auf die Einschränkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So können wir die Aufgabe auf der Menge aller zulässigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalität die Schaltstrategie als Steuervariable berücksichtigen und dürfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen.show moreshow less
  • We prove necessary conditions for problems in optimal control theory with continuous state trajectories which are characterized by state constraints as well as a finite number of different dynamics with corresponding cost functions and control sets. The link of a dynamic to the corresponding cost function and control set is covered by the strategy term. In the problems of optimal control examined in this thesis, the strategy can be arbitrarily switched. The change of different strategies on the considered time interval is based on a switching strategy which states the switching times and the chosen strategies. These switchings don't lead to switching costs. New to this representation of hybrid optimal control problems is the modeling of switching strategies by the splitting of the examined time interval. This way, in the comparison of admissible trajectories it is possible to dispense with the limitation of the equal number of switching times and the switching to the same strategies in the corresponding switching times. Therefore, weWe prove necessary conditions for problems in optimal control theory with continuous state trajectories which are characterized by state constraints as well as a finite number of different dynamics with corresponding cost functions and control sets. The link of a dynamic to the corresponding cost function and control set is covered by the strategy term. In the problems of optimal control examined in this thesis, the strategy can be arbitrarily switched. The change of different strategies on the considered time interval is based on a switching strategy which states the switching times and the chosen strategies. These switchings don't lead to switching costs. New to this representation of hybrid optimal control problems is the modeling of switching strategies by the splitting of the examined time interval. This way, in the comparison of admissible trajectories it is possible to dispense with the limitation of the equal number of switching times and the switching to the same strategies in the corresponding switching times. Therefore, we can examine the problem on the set of all feasible switching strategies, consider the switching strategy as control in the term of strong local optimality and are allowed to merge necessary conditions in the form of the Pontryagin maximum principle.show moreshow less

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Metadaten
Author: Tauchnitz, Nico
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-17877
Referee / Advisor:Prof. Dr. Pickenhain, Sabine
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Year of Completion:2010
Date of final exam:2010/04/23
Release Date:2010/05/26
Tag:Hybride Systeme; Notwendige Bedingungen; Optimale Steuerung; Pontrjaginsches Maximumprinzip; Zustandsbeschränkungen
Hybrid system; Necessary conditions; Optimal control; Pontryagin maximum principle; State constraints
GND Keyword:Beweis; Optimale Kontrolle; Pontrjagin-Maximumprinzip
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Mathematik insbesondere Optimierung
Institution name at the time of publication:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Optimierung