TY - THES A1 - Pütz, Michele T1 - Numerical investigation and extension of quadrature-based moment methods for population balances T1 - Numerische Untersuchung und Erweiterung quadraturbasierter Momentenmethoden für Populationsbilanzen N2 - Particulate systems can be described by a number density function (NDF) with respect to a vector of internal coordinates. The evolution of the NDF is governed by the typically high-dimensional population balance equation (PBE). A common approach to reduce the dimensionality of the problem is to solve only for a set of moments instead of the NDF. The derived system of moment equations, however, includes unclosed integral terms that still contain the unknown NDF. One way to close the system of moment equations is to approximate the unclosed integral terms using a Gaussian quadrature computed from the moments. The procedure of taking a set of moments to compute a Gaussian quadrature, which is, in turn, used to close the moment equations, is known as the quadrature method of moments (QMOM). It gave rise to an entire family of methods, the quadrature-based moment methods (QBMMs), which are the primary focus of this work. The presented research can be divided into three major parts. The first part involves the formulation of a common Lagrangian droplet breakup model for QBMMs and the numerical investigation with the QMOM as well as the more sophisticated extended QMOM (EQMOM). The results indicate that the approximations are reasonably accurate when at least six moment equations are solved, with the EQMOM providing no advantages for the investigated configurations. In the second part, a quadrature-based moment model for the effects of fluid turbulence on particle velocities is formulated. The resulting moment equations contain non-smooth integrands that are the source of large errors when using common QBMMs. As an alternative, the Gauss/anti-Gauss QMOM (GaG-QMOM) is proposed that uses the average of a Gaussian and an anti-Gaussian quadrature. Numerical studies show that the GaG-QMOM is able to significantly reduce the previously observed large errors. Another novelty proposed in this context is the modification of the second-order strong-stability preserving Runge-Kutta method to guarantee the preservation of moment realizability in the presence of phase-space diffusion. The third part is concerned with the numerical exploration of the core algorithm of most QBMMs in terms of performance and accuracy. The algorithm consists of, first, computing the recurrence coefficients of the orthogonal polynomials associated with a set of moments, second, solving a symmetric tridiagonal eigenvalue problem to obtain the quadrature nodes and weights, and third, evaluating the integral terms in the moment equations. The results indicate that the contribution of the first step to compute the recurrence coefficients from moments to the overall computational costs is negligible. Instead, the primary focus should be on the fast solution of the eigenvalue problem and, possibly, on the efficient implementation of the moment source term evaluation, which becomes important when second-order processes are considered. N2 - Teilchensysteme können durch eine Anzahldichtefunktion (NDF) bezogen auf einen Vektor interner Koordinaten beschrieben werden, deren Änderung durch die meist hochdimensionale Populationsbilanzgleichung (PBE) gegeben ist. Ein Ansatz zur Reduktion der Dimensionalität ist die Lösung nach nur einigen Momenten anstelle der NDF. Das System von Momentengleichungen enthält jedoch ungeschlossene Integralterme mit der unbekannten NDF. Eine Lösung dieses Schließungsproblems ist die Annäherung der Integrale durch eine aus den Momenten berechenbare Gauß-Quadratur. Dieses Vorgehen, aus Momenten eine Gauß-Quadratur zu berechnen und unter Anwendung dieser wiederum die Gleichungen für selbige Momente zu schließen, ist als QMOM (quadrature method of moments) bekannt. Aus dieser Methode erwuchs die Familie der quadraturbasierten Momentenmethoden (QBMM), auf die sich diese Arbeit primär konzentriert. Die Forschungsarbeit lässt sich in drei Teile gliedern. Der erste Teil befasst sich mit der Formulierung eines gebräuchlichen Lagrange’schen Modells für Tropfenzerfall sowie der numerischen Untersuchung mit QMOM und der anspruchsvolleren EQMOM (extended QMOM). Die Ergebnisse zeigen, dass eine relativ genaue Näherungslösung erreichbar ist, sofern mindestens sechs Momentengleichungen gelöst werden, wobei EQMOM für die untersuchten Fälle keine Vorteile bringt. Im zweiten Teil wird ein quadraturbasiertes Momentenmodell für die Effekte von Turbulenz auf Teilchengeschwindigkeiten hergeleitet. Nicht-glatte Integranden in den resultierenden Momentengleichungen führen zu großen Fehlern bei der Anwendung üblicher QBMM. Als Alternative wird die Gauss/anti-Gauss-QMOM (GaG-QMOM) vorgestellt, die das Mittel aus einer Gauß-Quadratur und einer Anti-Gauß-Quadratur verwendet. Die numerischen Untersuchungen zeigen, dass GaG-QMOM die zuvor beobachteten Fehler erheblich verringern kann. Eine weitere Neuheit neben GaG-QMOM ist eine Modifikation des stark stabilitätserhaltenden Runge-Kutta-Verfahrens zweiter Ordnung zur bedingungslosen Erhaltung der Momentenrealisierbarkeit in Anwesenheit von Phasenraumdiffusion. Der dritte Teil beschäftigt sich mit der numerischen Untersuchung des Kernalgorithmus der meisten QBMM auf Rechenkosten und Genauigkeit. Im Wesentlichen besteht der Algorithmus erstens aus der Berechnung der Rekursionskoeffizienten orthogonaler Polynome aus den zugehörigen Momenten, zweitens der Lösung eines tridiagonalen symmetrischen Eigenwertproblems zur Bestimmung der Quadraturknoten und -gewichte, und drittens der Auswertung der Integralterme in den Momentengleichungen. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass der Beitrag des Schrittes zur Berechnung der Rekursionskoeffizienten bezogen auf die gesamten Rechenkosten vernachlässigbar ist. Stattdessen sollte die schnelle Lösung des Eigenwertproblems im Vordergrund stehen und gegebenenfalls die effiziente Auswertung der Momentenquellterme, die bei physikalischen Vorgängen zweiter Ordnung bedeutend ist. KW - Numerical algorithms KW - Computational fluid mechanics KW - Orthogonal polynomials KW - Turbulence KW - Population balance equations KW - Numerische Algorithmen KW - Numerische Strömungsmechanik KW - Orthogonale Polynome KW - Populationsbilanzgleichungen KW - Turbulenz KW - Numerische Strömungssimulation KW - Strömungsmechanik KW - Numerisches Verfahren KW - Orthogonale Polynome KW - Turbulente Strömung Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-65751 ER - TY - THES A1 - Rieper, Felix T1 - On the behaviour of numerical schemes in the low Mach number regime T1 - Über das Verhalten von numerischen Verfahren im Strömungsbereich kleiner Machzahlen N2 - This work is concerned with the study of two-dimensional inviscid flow. The main concern is the so-called "accuracy problem" of first-order upwind schemes in the low Mach number regime. The thesis is divided into two parts. In a preliminary chapter the governing thermodynamic and mechanical equations are introduced. The Navier-Stokes equations for viscous flow are presented because the concepts of fluid viscosity and Reynolds number are later needed in the context of artificial viscosity of numerical schemes. The Euler equations are introduced along with a single-scale asymptotic analysis for small Mach numbers. In the first part the behaviour of various first-order upwind schemes in the low Mach number regime is analysed with respect to a one-dimensional model case, where the two-dimensionality only remains in the shear waves of the local Riemann problem. The concepts of numerical viscosity and numerical Reynolds number are first introduced for the upwind method for the scaler linear advection equation. These concepts are then applied to Roe's scheme and the scheme by Harten-Lax-van Leer (HLL). The aim is to show that the accuracy problem can only be avoided, if all characteristic waves are resolved by the upwind scheme. Otherwise, the artificial viscosity on these waves is of the wrong order of magnitude dx/M and grows with decreasing Mach numbers, instead of being order dx. In the following chapter, various flux vector splitting methods are analysed in this respect. The analysis presented is verified with a number of numerical results. Comparisons with analytical solutions give a direct measure of the accuracy of the scheme; to this end we use the flow around a cylinder. As standard test case the flow around a NACA0012 aerofoil is used. The second part of the thesis is dedicated to two-dimensional flow. The numerical scheme of choice is based on Roe's approximate Riemann solver, which does not show the accuracy problem in the one-dimensional setting. Part II begins with broad numerical studies, which path the way to the analysis by giving answers to the following questions. How does the numerical behaviour of the scheme change, when the cells in a structured, body-fitted grid around a cylinder are continuously transformed from (almost) squares, via trapezoids to triangles? How important is the grid structure to the accuracy problem? Later we restrict the numerical investigations to structured grids with two different cell geometries: squares and rectangular triangles, which originate from the squares by adding a diagonal edge. On these types of finite volume cells the steady flow around a rectangle and the dissipative behaviour of an oblique contact layer is investigated. The moving Gresho vortex is simulated as an example of an unsteady flow simulation. All numerical studies suggest two things: firstly, the accuracy problem is linked to the momentum transport in shear flow and, secondly, this problem is absent if the finite volume cells are of triangular shape -- irrespective of the grid being structured or unstructured. The analysis begins with heuristic considerations. We investigate a special case of a divergence free flow with constant pressure and density on a Cartesian and a related triangular grid. Already here, the different form of the artificial viscosity term on square and triangular finite volume cells becomes evident. On Cartesian grids there is a decoupling of the artificial viscosity into horizontal and vertical direction. For non-trivial velocity fields the viscosity terms of order dx/M cannot vanish and cause the numerical error to grow for decreasing Mach numbers. On triangular grids there is no such decoupling: the artificial viscosity of order dx/M contains all jumps of the normal component of the velocity at the three cell interfaces. This suggests that the accuracy problem is absent because these jumps can completely vanish without constraining the velocity field to a trivial flow. The thesis closes with a proof of this proposal for the Roe scheme for steady low Mach number flow. Using asymptotic analysis of the semi-discrete equations, it is explicitly derived that the accuracy problem is avoided, if the Roe scheme is used on triangular finite volume cells. The accuracy of the scheme is accompanied by a constraint: the normal velocity does not jump at cell interfaces. This constraint leaves enough degrees of freedom for the velocity field as is shown with graph theoretic arguments. N2 - Kern dieser Arbeit sind zweidimensionale reibungsfreie Strömungen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem sogenannten accurcay problem von Upwind-Verfahren erster Ordnung im Bereich kleiner Machzahlen. Die Dissertation ist in zwei Teile untergliedert. In einem einleitenden Kapitel werden die für diese Studie relevanten thermodynamischen und mechanischen Gleichungen eingeführt. Die Konzepte der inneren Reibung in Fluiden und der Reynoldszahl werden später im Kontext von künstlicher Viskosität numerischer Verfahren benötigt. Daher werden die Navier-Stokes Gleichungen für reibungsbehaftete Strömungen zuerst eingeführt. Im Anschluss werden die Eulergleichen und die Ergebnisse der asymptotischen Analyse für kleine Machzahlen vorgestellt. Im ersten Teil der Arbeit werden verschiedene Upwind-Verfahren erster Ordnung hinsichtlich ihres Verhaltens in einer eindimensionalen Modellsituation untersucht, wobei die Zweidimensionalität nur durch die Existenz von Scherwellen in den lokalen Riemannproblemen bestehen bleibt. Das Konzept der numerischen oder künstlichen Viskosität und der numerischen Reynoldszahl wird am Beispiel des Upwind-Verfahrens für die skalare lineare Advektionsgleichung entwickelt. Diese Konzepte werden dann auf das Roe-Verfahren und das Verfahren von Harten, Lax und van Leer (HLL) übertragen. Ziel dieser Analyse ist es zu zeigen, dass im Bereich kleiner Machzahlen ein Upwind-Verfahren alle charakteristischen Wellen auflösen muss, wenn das "accuracy problem" vermieden werden soll. Dieser Aspekt wird im Anschluss für diverse Fluss-Vektor-Splitting Verfahren untersucht. Die Analyse wird mit zahlreichen numerischen Ergebnissen untermauert. Die stationäre Zylinderumströmung wurde als Testfall gewählt, da die analytische Referenzlösung der inkompressiblen Potentialströmung bekannt ist. Als weiteren Testfall untersuchen wir die stationäre Strömung um ein NACA0012 Flügelprofil. Der zweite Teil der Arbeit ist zweidimensionalen Strömungen gewidmet. Als Flusslöser beschränke ich mich auf den approximativen Riemannlöser von Roe, der das accuracy problem in der eindimensionalen Modellsituation nicht aufweist. Dieser Teil beginnt mit einer Reihe von numerischen Studien, die Hinweise darauf geben sollen, in welcher Richtung die Analyse anzusetzen ist. Für die Zylinderumströmung wird das strukturierte, körperangepasste Gitter derart transformiert, dass das Verhalten des Verfahrens beim stetigen Übergang von quasi quadratischen Zellen über trapezförmige bis hin zu dreieckigen Zellen ersichtlich wird. Vergleichende Rechnungen auf strukturierten und unstrukturierten Gittern um den Zylinder sollen Aufschluss geben über den Einfluss der Gitterstruktur auf das accuracy problem. Im Hinblick auf eine vereinfachte Analyse werden die numerischen Untersuchungen im Anschluss auf strukturierte Gitter mit zwei Zellgeometrien beschränkt: Quadrate und rechtwinklige Dreiecke, die durch Einfügen einer Diagonalen aus den Quadraten hervorgehen. Auf diesen zwei Typen von Finite-Volumen-Zellen wird die stationäre Umströmung eines Rechtecks sowie das dissipative Verhalten auf schräglaufende Kontaktunstetigkeiten untersucht. Der Transport eines Greshowirbels dient als Beispiel einer instationären Strömung. Alle numerischen Ergebnisse legen zwei Dinge nahe: Erstens, dass das accuracy problem verbunden ist mit dem Impulstransport in Scherschichten, und zweitens, dass dieses Problem auf dreiecksförmingen Finite-Volumen-Zellen vermieden wird – unabhängig davon, ob das Gitter strukturiert oder unstrukturiert ist. Bei kartesischen Gittern beobachtet man eine Entkopplung der künstlichen Viskosität in horizontale und vertikale Richtung. Für nicht-triviale Strömungen können daher die Fehlerterme der Ordnung dx/M nicht verschwinden -- der Diskretisierungsfehler wächst mit abnehmender Machzahl. Auf Dreiecks-Gittern gibt es keine solche Entkopplung. Die künstliche Viskosität der Ordnung dx/M enthält die Sprünge der Normalenkomponente der Geschwindigkeit von allen drei Zellkanten. Dies legt die Vermutung nahe, dass auf Dreiecksgittern das accuracy problem vermieden wird, indem diese Sprünge verschwinden – ohne das Geschwindigkeitsfeld zu sehr einzuschränken. Die Studie wird mit einem Beweis dieser Vermutung für den Roelöser im Bereich kleiner Machzahlen im stationären Fall abgeschlossen. KW - Numerische Strömungsmechanik KW - Zweidimensionale Strömung KW - Upwind-Verfahren KW - Schwach kompressible Strömung KW - CFD KW - Numerische Strömungsmechanik KW - Upwind Schemata KW - Numerische Viskosität KW - Weakly compressible flow KW - CFD KW - Upwind schemes KW - Numerical viscosity KW - Low Mach number flow Y1 - 2008 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-5747 ER -