TY - THES A1 - Neuffer, Kai T1 - Das Diffuse-Grenzflächen-Modell - Löcher und Tropfen eines dünnen Flüssigkeitsfilms N2 - Mit Hilfe einer Evolutionsgleichung für die Filmdicke, welche vor kurzem aus der diffusen Grenzflächentheorie und der Näherung langer Wellenlängen abgeleitet wurde [L. M. Pismen und Y. Pomeau, Phys. Rev. E 62, 2480 (2000)], werden die Entnetzungseigenschaften dünner Filme (d < 100nm) auf einem festen Substrat untersucht. Das Diffuse-Grenzflächen-Modell erlaubt es ein Phasendiagramm für stabile und instabile Schichtdickenbereiche sowie für Tropfen- und Lochbereiche zu berechnen. Die zweidimensionale Betrachtung der Dünnfilmgleichung führt zu einer Unterteilung des linear instabilen Schichtdickenbereichs in einen nukleations- und in einen instabilitätsdominierten Bereich. Im Fall einer gekippten Unterlage werden stationäre Lösungsfamilien der zweidimensionalen Gleichung für periodische Randbedingungen bestimmt. Für große Periodenlänge finden sich universelle Lösungen (flache Tropfen), deren Eigenschaften nicht von der mittleren Schichtdicke abhängen. Für größere Neigungswinkel tritt ein weiterer stabiler Lösungszweig auf, welcher einen dynamischen Entnetzungsübergang mit Hysterese erlaubt. N2 - Using a recently derived film evolution equation combining long-wave approximation and diffuse interface theory [L. M. Pismen and Y. Pomeau, Phys. Rev. E 62, 2480 (2000)], we study the dewetting properties of a thin film (d < 100nm) on a solid substrate. The diffuse interface enables one to compute a phase diagram for the stable and unstable regions of film thickness. This region can be separated into a drop and a hole domain. Semi-analytical analysis of the two dimensional equation leads to a further separation of the linearly unstable thickness range in nucleation and instability dominated regions. In the case of the thin film on an inclined plane we study stationary solution families for periodic boundary conditions. For large periods we find universal solutions (flat drops), whose properties do not depend on the mean film thickness. For larger inclination angles another stable solution branch emerges, allowing for a dynamic wetting transition and showing hysteresis. KW - Flüssigkeitsfilm KW - Instabilität KW - Loch KW - Tropfenbildung KW - Evolutionsgleichung KW - Hydromechanik KW - Dünner Film KW - Hydrodynamische Instabilität KW - Makroskopische Strukturbildung KW - Entnetzung Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000504 ER - TY - THES A1 - Müller, Horst T1 - Ordnungsreduktion geometriebasierter Differentialgleichungssysteme unter Berücksichtigung schwacher Nichtlinearitäten N2 - Diese Arbeit untersucht Methoden der Ordnungsreduktion schwach nichtlinearer Finite-Elemente und Finite-Differenzen Systeme. Die Nichtlinearitäten werden in einheitlicher Weise mittels einer Taylor Reihenentwicklung parametrisiert. Diese Darstellung dient als Normalform, auf der die Methoden der Ordnungsreduktion operieren. Die Modelle hoher Ordnung werden mittels projektionsbasierter Verfahren auf Systeme mit nur noch wenigen Freiheitsgraden reduziert. Diese Verfahren beruhen auf Krylov-Unterraum Methoden (Arnoldi-Verfahren) und Methoden der Zustandsauswahl (Guyan-Verfahren) für den linearen Fall. Darüberhinaus werden zwei weitere Methoden der nichtlinearen Ordnungsreduktion vorgestellt, das Verfahren der adiabatischen Elimination schnell relaxierender Variablen und das Verfahren der nichtlinearen Frequenzgangsanpassung. Die Eignung der projektiven Reduktionsmethoden wird anhand von akademischen und industrierelevanten Beispielen demonstriert N2 - We describe techniques of model order reduction (MOR) for weakly nonlinear finite element and finite difference models. Nonlinearities are uniquely parameterized by means of a Taylor series expansion. The MOR-methods operate on this standard-representation. We use projection-based MOR methods to get manageable nonlinear behavioral models. These approaches are based on Krylov-subspace (Arnoldi-method) and state-selection (Guyan-method) techniques for the linear case. Moreover, we propose other MOR approaches for the nonlinear case: MOR by adiabatic elimination of fast relaxing variables and a nonlinear approach in the frequency domain. The applicability of the projection-based methods is demonstrated on both, academic and industrial examples. KW - Differentialgleichungssystem KW - Ordnungsreduktion KW - Projektionsverfahren KW - Ordnungsreduktion KW - Modellreduktion KW - Systemreduktion KW - Systemvereinfachung KW - Nichtlinear KW - Model order reduction KW - System simplification KW - Nonlinear Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000955 ER - TY - THES A1 - Enculescu, Mihaela T1 - Wellenausbreitung in neuronalen Feldern mit retardierter Wechselwirkung T1 - Wave propagation in neural fields with delay N2 - Ein wesentlicher Aspekt der Dynamik elektrischer Aktivitaet in neuronalen Gewebe betrifft die Ausbreitung von Aktivitaet in Form von Wellen. In dieser Arbeit untersuchen wir die Existenz und Eigenschaften laufender Wellenloesungen einer nichtlinearen Neuronalen-Feld-Gleichung. Das Modell beruecksichtigt die nichtlokalen synaptischen Verbindungen und die Zeitverzoegerung bei der Kommunikation zwischen den Nervenzellen, die abstandsabhaengig ist. Die Modellgleichung hat daher die mathematische Form einer nichtlinearer, retardierter Integralgleichung. In der Arbeit wird zuerst gezeigt, wie man die Modellgleichung durch ein System von partiellen Differentialgleichungen approximieren kann, das leichter numerisch untersucht werden kann. Anschliessend werden laufende Wellenloesungen des Modells numerisch und analytisch untersucht. N2 - Activity spread in the form of nonlinear waves is a significant issue of neural tissue dynamics. In this thesis we investigate the existence and the properties of traveling wave solutions of a nonlinear neural field equation. The model includes the nonlocal synaptic connections and the space-dependent time delay that occurs at the communication of two neurons. The model equation has therefore the mathematical form of a nonlinear delayed integral equation. In the thesis we first show how the model equation can be approximated by a system of partial differential equations, that can be easyer handled numerically. Afterwards we study traveling wave solutions of the model with numerical and analytical methods. KW - Neuronales Netz KW - Informationsverarbeitung KW - Neural fields KW - Wave propagation KW - Integral equations KW - Delayed equations Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-438 ER - TY - THES A1 - Rasin, Igor T1 - Numerical simulation of microstructure of the GeSi alloy T1 - Numerische Simulation der Mikrostruktur der GeSi-Legierung N2 - The goal of this work is to investigate pattern formation processes on the solid-liquid interface during the crystal growth of GeSi. GeSi crystals with cellular structure have great potential for applications in gamma-ray and neutron optics. The interface patterns induce small quasi-periodic distortions of the microstructure called mosaicity. Existence and properties of this mosaicity are important for the application of the crystals. The properties depend on many factors; this dependence, is currently not known even not qualitatively. A better understanding of the physics near the crystal surface is therefore required, in order to optimise the growth process. There are three main physical processes in this system: phasetransition, diffusion and melt flow. Every process is described by its own set of equations. Finite difference methods and lattice kinetic methods are taken for solving these governing equations. We have developed a modification of the kinetic methods for the advectiondiffusion and extended this method for simulations of non-linear reaction diffusion equations. The phase-field method was chosen as a tool for describing the phase-transition. There are numerous works applied for different metallic alloys. An attempt to apply the method directly to simulation GeSi crystal growth showed that this method is unstable. This instability has not been observed in previous works due to the much smaller scale of simulations. We introduced a modified phase-field scheme, which enables to simulate pattern formation with the scale observed in experiment. A flow in the melt was taken in to account in the numerical model. The developed numerical model allows us to investigate pattern formation in GeSi crystals. Modelling shows that the flow near the crystal surface has impact on the patterns. The obtained patterns reproduce qualitatively and in some cases quantitatively the experimental results. N2 - Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, Mikrostrukturen, die während des Wachstumsprozesses von GeSi-Einkristallen entstehen zu erforschen. GeSi-Kristalle mit zellularer Struktur haben ein hohes Potential für die Anwendung in der Gamma- und in der Neutronenoptik. Die sich an der Phasengrenze ausbildene zellulare Struktur verursacht entsprechende quasi-periodische Abweichungen in der Kristallstruktur, die Mosaizität genannt werden. Die Existenz und die Eigenschaften dieser Mosaizität sind entscheidend für die Anwendung der Kristalle. Die Eigenschaften hängen von vielen Faktoren ab. Gegenwärtig sind diese Abhängigkeiten sogar qualitativ noch nicht bekannt. Deswegen ist es notwendig, ein besseres Verständnis für die Vorgänge an der Phasengrenze zu erhalten. Dabei sind im wesentlichen drei physikalische Prozesse wichtig: Phasenübergang, Diffusion und Schmelzkonvektion. Jeder Prozess wird durch entsprechende Gleichungen beschrieben. Für die Lösung der Gleichungen wurden Finite-Differenzen-Methoden und die kinetischen Methoden angewandt. Wir haben eine Erweiterung der kinetischen Methode für die Advektions-Diffusionsgleichungen und die nichtlinearen Reaktions-Diffusions Gleichungen entwickelt. Die Phasenfeld-Methode wurde als ein Werkzeug für die Beschreibung des Phasenübergangs gewählt. Es gibt eine Vielzahl von Arbeiten, die diese Methode auf die Erstarrung unterschiedlicher metallischer Legierungen anwenden. Bei der Anwendung der Ansätze dieser Arbeiten auf die Kristallisation der GeSi-Kristalle traten modellbedingte Instabilitäten auf. Diese Stabilitätsprobleme wurden bei anderen Arbeiten nicht beobachtet, da die zu berechnenden Strukturen wesentlich kleiner waren. Zur Lösung des Problems entwickelten wir eine modifizierte Phasenfeldgleichung, anhand welcher es möglich ist, die Simulation von entsprechend großen Zellularstrukturen durchzuführen, wie sie im Experiment beobachtet worden sind. Der Algorithmus zur Lösung der Phasenfeldgleichung wurde mit dem kinetischen Schema zur Lösung der Diffusions-Advektions- Gleichung und dem Algorithmus zur Strömungsberechnung gekoppelt. Das entwickelte numerische Modell erlaubt uns, die strukturbildenden Prozesse in GeSi-Kristallen zu untersuchen. Die Modellierung zeigte, dass Strömungen in der Nähe der Phasengrenze einen Einfluss auf die Zellularstrukturen ausüben. Die simulierte Struktur reproduziert qualitativ und in manchen Fällen sogar quantitativ die experimentellen Ergebnisse. KW - Germanium KW - Silicium KW - Legierung KW - Kristallwachstum KW - Kristallzüchtung KW - Gitter-Boltzmann KW - Phasenfeld KW - Erstarrung KW - Strukturbildung KW - Crystal growth KW - Lattice Boltzmann KW - Phase field KW - Solidification KW - Pattern formation Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-474 ER - TY - THES A1 - Richter, Sebastian T1 - Direct numerical simulation of nonlinear pattern formation on the surface of liquid films T1 - Direkte Numerische Simulation von Nichtlinearer Musterbildung auf der Oberfläche von Flüssigkeitsfilmen N2 - We investigate the dynamics of a Newtonian liquid layer bounded on one side by a horizontal and planar substrate and on the other side by its free and deformable surface. The system is subjected to a time-periodic gravitation field in lateral or normal direction. Based on a nonlinear coordinate transformation, which maps the time-dependent surface onto a constant domain and thus eliminates the need for tracking the interface, a finite-difference method on staggered grids is presented, allowing direct numerical simulations of the full incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. Taking into account the continuity equation, a sparse linear system for the pressure is obtained from the discretized Navier-Stokes equations whose solution satisfies the conservation of momentum and mass, so that pressure corrections can be avoided. In the case of a harmonic force perpendicular to the substrate, we find in high frequency ranges the classical square patterns oscillating subharmonically with half of the driver’s frequency. For a slow excitation, hexagonal Faraday waves emerge oscillating at the forcing frequency. Vertical two-frequency excitations lead to more complex patterns — surface waves having the shape of a square superlattice are found. In the case of a lateral excitation, the formation of coarsening droplets is observed. We show that ratchet-like forces generate a nonvanishing averaged flow rate inducing a preferred direction of motion of the drops. These results correspond well with those of a simplified model based on the lubrication approximation. Our investigations also include systems in Rayleigh-Taylor configuration, where the liquid is located on the underside of the substrate. By considering rigid walls instead of periodic boundaries, wave amplification due to resonance can be studied. The corresponding numerical results are in good agreement with experimentally obtained data. N2 - Wir untersuchen die Dynamik einer Newtonschen Flüssigkeitsschicht, die von einer Seite durch ein horizontales und planares Substrat und auf der anderen Seite durch ihre freie und verformbare Oberfläche begrenzt ist. Das System wird einem zeitlich periodischen Gravitationsfeld in lateraler oder in normaler Richtung ausgesetzt. Basierend auf einer nichtlinearen Koordinatentransformation, die die Oberfläche auf ein konstantes Gebiet abbildet und somit eine Verfolgung der Grenzfläche unnötig macht, wird eine Finite-Differenzen-Methode auf versetzten Gittern vorgestellt, welche direkte numerische Simulationen der vollständigen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Dimensionen ermöglicht. Unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus den diskretisierten Navier-Stokes-Gleichungen ein dünnbesetztes lineares Gleichungssystem für den Druck, dessen Lösung Impuls- und Massenerhaltung erfüllt, so dass Druckkorrekturen vermieden werden können. Im Falle einer harmonischen Kraft senkrecht zum Substrat finden wir in hohen Frequenzbereichen die klassischen quadratischen Instabilitäten, die subharmonisch mit der Hälfte der Frequenz der Anregung schwingen. Bei einer langsamen Anregung entstehen hexagonale Faraday-Wellen, welche mit der Frequenz der äußeren Kraft oszillieren. Vertikale Zweifrequenzanregungen führen zu komplexeren Mustern — Oberflächenwellen in der Form übergeordneter Quadrate werden gefunden. Im Falle einer lateralen Anregung wird die Entstehung von sich vergröbernden Tropfenstrukturen beobachtet. Wir zeigen, dass sägezahnartige Kräfte eine im zeitlichen Mittel nicht verschwindende Strömung erzeugen, wodurch eine bevorzugte Bewegungsrichtung der Tropfen induziert wird. Die Ergebnisse stimmen gut mit denen eines vereinfachten, auf der Schmiermittelnäherung basierenden Modells überein. Unsere Untersuchungen umfassen auch Systeme in Rayleigh-Taylor-Konfiguration, bei denen sich die Flüssigkeit auf der Unterseite des Substrats befindet. Durch die Berücksichtigung fester Wände anstelle von periodischen Rändern kann die Wellenverstärkung durch Resonanz untersucht werden. Die entsprechenden numerischen Ergebnisse decken sich gut mit experimentell gewonnenen Daten. KW - Faraday waves KW - Droplet formation KW - Direct numerical simulation KW - Pattern formation KW - Nonlinear dynamics KW - Faraday-Wellen KW - Tropfenbildung KW - Direkte numerische Simulation KW - Musterbildung KW - Nichtlineare Dynamik KW - Flüssigkeitsfilm KW - Direkte numerische Simulation KW - Nichtlineare Dynamik KW - Musterbildung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-54319 ER - TY - THES A1 - Merkt, Domnic T1 - Konvektionsinstabilitäten und raumzeitliche Strukturbildung in Zweischicht-Systemen N2 - In dieser Arbeit wird das Verhalten zweier nichtmischbarer überlagerter Fluide (Gase und/oder Flüssigkeiten) untersucht, welche durch horizontale Platten vertikal beschränkt sind. Die betrachteten Effekte beschränken sich im Wesentlichen auf den Einfluss von Gravitations- und Oberflächenspannungseffekten. Dabei werden neben analytischen hauptsächlich numerische Untersuchungen über das Instabilitätsverhalten der Grenzfläche und die resultierende Strukturbildung durchgeführt. Ausgangspunkt sind die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, die Wärmeleitgleichungen und die Kontiniuitätsgleichungen beider Fluidschichten. Die Komplexität dieser Gleichungen erfordert bestimmte Näherungen und deshalb werden zwei Grenzfälle untersucht. Als erste Näherung wird eine undeformierbare Grenzfläche angesetzt. In dieser Näherung wird zum einen die, nur in Mehrschichtsystemen auftretende, Antikonvektion untersucht. Neben analytischen Resultaten in vertikal unendlich ausgedehnten Systemen, werden zum ersten Mal 3D-Simulationen der vollen nichtlinearen Gleichungen gezeigt. Zum anderen wird ein einfaches einseitiges Modell zur Konvektion unter Verdampfung abgeleitet, welches eine Erweiterung des "Pearson"-Modells darstellt, und die resultierende Strukturbildung gezeigt. Eine deformierbare Grenzfläche bei ausschließlicher Untersuchung von langwelligen Instabilitäten führt zur zweiten Näherung: die Schmiermittelnäherung. Nach der Herleitung der Evolutionsgleichung der Grenzfläche werden ihre grundlegenden Eigenschaften diskutiert. Die numerische Integration zeigt die typische Tropfen/Loch-Bildung dieser Systeme. N2 - This work deals with two-layer systems of immiscible fluids (gas and/or liquid) bounded by horizontal plates. We consider mainly the effects of gravitation and surface-tension and focus on numerical investigations of interface instabilities and pattern formation. Starting with the incompressible Navier-Stokes equations, energy equation and continuity equation for both layers two approximations are investigated. The first approximation deals with an undeformable interface. Here we investigate anticonvection which occurs only in multi-layer systems. Beside analytical results in vertically infinitely extended systems 3D-simulations of the fully nonlinear equations are shown for the very first time. Furthermore we derive a one-sided model for convection incorporating evaporation at the interface. This model is an extension of the well-known Pearson'-model and we show the resulting patterns under evaporation. The second approximation deals with deformable interfaces in thin layers. This so-called lubrication approximation allows exclusively long-wave instabilities. Here we derive an evolution equation for the interface and discuss its general properties. Finally, numerical investigations reveal the typical drop/hole structures. KW - Fluid KW - Binäres System KW - Nichtmischbarkeit KW - Konvektion KW - Strukturbildung KW - Konvektion KW - Zweischicht-Systeme KW - Dünner Film KW - Hydrodynamische Instabilität Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000731 ER - TY - THES A1 - Pototskyy, Andriy T1 - Pattern formation in thin one- and two-layer liquid films T1 - Strukturbildung in dünnen ein- und zweischichtigen Flüssigkeitsfilmen N2 - This work deals with static and dynamic properties of thin one- and two-layer liquid films. Regarding one-layer films, we study large scale surface deformations of a liquid film unstable due to the Marangoni effect caused by external heating on a smooth and solid substrate. To prevent rupture, a repelling disjoining pressure is included which accounts for the stabilization of a thin precursor film and so prevents the occurrence of completely dry regions. Linear stability analysis, nonlinear stationary solutions, as well as three-dimensional time dependent numerical solutions for horizontal and inclined substrates reveal a rich scenario of possible structures for several realistic liquid parameters. We also propose two methods to control the structuring of unstable thin films of soft matter. The first one is a non-contact method, where an external disturbance can be used to move a single drop, front or hole in a certain direction. The principle is illustrated by incorporating a sonic disturbance in a thin film equation to study the evolution of ultrathin films unstable due to their wetting properties. The second one is based on inhomogeneous templating of the substrate. Here we study the influence of periodic modulation on coarsening in the long time limit. Finally, the fully nonlinear evolution of a 3D system is presented by numerical integration. Further on, we consider a thin film consisting of two layers of immiscible liquids on a solid horizontal (heated) substrate. Both, the free liquid-liquid and the liquid-gas interface of such a bilayer liquid film may be unstable due to effective molecular interactions relevant for ultrathin layers below 100 nm thickness, or due to temperature-gradient caused Marangoni flows in the heated case. Using a long wave approximation we derive coupled evolution equations for the interface profiles for the general non-isothermal situation allowing for slip at the substrate. Linear and nonlinear analyses of the short- and long-time film evolution are performed for isothermal ultrathin layers taking into account destabilizing long-range and stabilizing short-range molecular interactions. It is shown that the initial instability can be of a varicose, zigzag or mixed type. However, in the nonlinear stage of the evolution the mode type and therefore the pattern morphology can change via switching between two different branches of stationary solutions or via coarsening along a single branch. N2 - In dieser Arbeit werden statische und dynamische Eigenschaften von ein- und zweischichtigen Flüssigkeitsfilmen untersucht. In Einschichtfilmen wird zunächst der Einfluss der langskaligen Marangoni Konvektion auf die lineare und nichtlineare Zeitentwicklung eines von unten geheizten Filmes diskutiert. Um Film-Rupture zu vermeiden wird zusäztlich ein stabilisierender Trennungsdruck eingeführt. Dieser führt zur Existenz von einem dünnen Precursor-Film und verhindert dadurch das Entstehen von "Dry Spots". Verschiedene Oberflächenstrukturen werden erklärt sowohl mit einer linearen Stabilitätsanalyse und mit nichtlinearen stationären Zuständen, als auch anhand der dreidimensionalen Zeitentwicklung des Einschichtfilmes auf dem horizontalem und geneigtem Substrat. Es werden zwei Methoden vorgeschlagen, die es ermöglichen die Oberflächenstruktur in den instabilen "Soft Matter" Filmen zu kontrollieren. Die erste Methode ist kontaktfrei: eine äußere Störung wird benutzt um den einzelnen Tropfen (Front oder Loch) in eine bestimmte Richtung zu verschieben. Die zweite Methode basiert auf nichthomogenem Schablonieren des Substrats. Hier wird der Einfluss einer periodischen Modulierung auf das Coarsening in Langzeit-Limes untersucht. Die nichtlineare Zeitentwicklung in 3D wird anhand numerischer Integration präsentiert. Weiterhin wird ein dünner Film auf einem horizontalem Substrat betrachtet, der aus zwei Schichten unvermischbarer Flüssigkeiten besteht. Die freideformierbaren Flüssigkeit-Flüssigkeit und Flüssigkeit-Gas Oberflächen können entweder durch die zwischenmolekulare Wechselwirkung oder durch den Marangoni Effekt destabilisiert werden. In Rahmen der Lubrication-Nährung werden zwei gekoppelte Evolutionsgleichungen für die Grenzflächenprofile hergeleitet. Bei simultaner Wirkung von destabilisierender langreichweitiger und stabilisierender kurzreichweitiger Wechselwirkung zeigt die lineare Stabilitätsanalyse die Existenz von zwei Modentypen: die varicose Mode und die zigzag Mode. Im Laufe der Zeitentwicklung kommt es zur Änderung des Modentypes. Dies geschieht entweder indem das System zwischen zwei Ästen der stationären Lösungen wechselt, oder indem einem stabilen Ast beim Coarsening gefolgt wird. KW - Musterbildung KW - Flüssigkeitsfilm Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000822 ER -