TY - THES A1 - Mehlitz, Patrick T1 - On implicit variables and related topics in mathematical optimization T1 - Über implizite Variablen und verwandte Themen in der Optimierungstheorie N2 - This thesis is concerned with the phenomenon of implicit variables in optimization theory. Roughly speaking, a variable is called implicit whenever it is used to model the feasible set but does not appear in the objective function. At the first glance, such variables seem to be less relevant for the purpose of optimization. First, we provide a theoretical study on optimization problems with implicit variables. Therefore, we rely on a model program which covers several interesting problem classes from optimization theory such as bilevel optimization problems, evaluated multiobjective optimization problems, or optimization problems with cardinality constraints. We start our analysis by clarifying that the interpretation of implicit variables as explicit ones induces additional local minimizers. Afterwards, we study three reasonable stationarity systems of Mordukhovich-stationarity-type for the original problem as well as some comparatively weak associated constraint qualifications. The obtained results are applied to the three example classes mentioned above. Second, we introduce switching- and or-constrained optimization problems. Exploiting the observation that each or-constrained optimization problem can be transferred into a switching-constrained optimization problem with the aid of slack variables, one can interpret or-constrained programs as optimization problems comprising implicit variables. Necessary optimality conditions and constraint qualifications for both problem classes are derived. Furthermore, some approaches for the numerical solution of both problem classes are discussed and results of computational experiments are presented. The shortcomings of implicit variables are highlighted in terms of or-constrained optimization. Third, we study three different scenarios where optimality conditions and constraint qualifications for challenging optimization problems can be constructed while abstaining from the introduction of implicit variables. We start by deriving a generalized version of the linear independence constraint qualification as well as second-order necessary and sufficient optimality conditions for so-called disjunctive optimization problems, which cover several interesting but inherently irregular problem classes like mathematical programs with complementarity, switching, or-, and cardinality constraints. Afterwards, we exploit several different single-level reformulations of standard bilevel optimization problems in order to find first- and second-order sufficient optimality conditions. Finally, we study sequential stationarity and regularity conditions for nonsmooth mathematical problems with generalized equation constraints with the aid of the popular limiting variational analysis. The investigated model problem covers the one we use for the theoretical analysis of implicit variables. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Phänomen impliziter Variablen in der Optimierungstheorie. Eine Variable wird hierbei als implizit bezeichnet, wenn sie zur Modellierung der zulässigen Menge genutzt wird, nicht aber in der Zielfunktion auftaucht. Auf den ersten Blick wirken solche Variablen als wenig relevant im Hinblick auf den eigentlichen Optimierungsprozess. Im ersten Teil der Arbeit wird eine theoretische Analyse von Optimierungsproblemen mit impliziten Variablen durchgeführt. Hierzu wird ein abstraktes Modell betrachtet, welches eine Vielzahl interessanter Problemklassen der Optimierungstheorie wie hierarchische Probleme, bewertete Vektoroptimierungsprobleme oder Optimierungsaufgaben mit Kardinalitätsbeschränkungen abdeckt. Zuerst wird gezeigt, dass die Interpretation von impliziten als explizite Variablen zusätzliche lokale Optimallösungen induziert. Danach werden drei Stationaritätssysteme vom Mordukhovich-Typ des Originalproblems sowie vergleichsweise schwache, zugehörige Regularitätsbedingungen untersucht. Abschließend werden die erhaltenen Resultate auf die oben genannten Problemklassen angewandt. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit Optimierungsaufgaben über Umschalt- und Oder-Beschränkungen. Beachtet man, dass jedes Oder-beschränkte Optimierungsproblem unter Verwendung von Schlupfvariablen in ein Problem mit Umschaltbeschränkungen überführt werden kann, so ist klar, dass Oder-beschränkte Probleme als Optimierungsaufgaben mit impliziten Variablen angesehen werden können. Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für beide Problemklassen werden hergeleitet. Außerdem werden Ansätze zur numerischen Lösung beider Problemklassen sowie Ergebnisse von Testrechnungen vorgestellt. Die Nachteile impliziter Variablen werden anhand von Oder-beschränkten Problemen illustriert. Anhand von drei verschiedenen Szenarien wird im dritten Teil der Arbeit aufgezeigt, wie Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für komplizierte Optimierungsaufgaben auch ohne die Einführung impliziter Variablen gewonnen werden können. Zunächst werden eine verallgemeinerte Form der Bedingung LICQ sowie Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für disjunktive Probleme wie komplementaritäts- oder kardinalitätsbeschränkte Aufgaben hergeleitet. Anschließend werden verschiedene Umformulierungen von Zwei-Ebenen-Optimierungsaufgaben verwendet, um hinreichende Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung abzuleiten. Mithilfe der Variationsanalysis werden zuletzt sequentielle Stationaritäts- und Regularitätsbedingungen für nichtglatte Optimierungsaufgaben über verallgemeinerten Gleichungen untersucht. Das betrachtete Model umfasst hierbei auch jenes, welches zur abstrakten Analyse impliziter Variablen genutzt wurde. KW - Mathematical optimization KW - Implicit variables KW - Optimality conditions KW - Constraint qualifications KW - Variational analysis KW - Mathematische Optimierung KW - Implizite Variablen KW - Optimalitätsbedingungen KW - Regularitätsbedingungen KW - Variationsanalysis KW - Optimierung KW - Variable KW - Optimalitätsbedingung KW - Regularität KW - Variationsrechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55291 ER - TY - THES A1 - Marko, Jonas T1 - Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation T1 - Optimal control problems with total variation N2 - Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Gebäuden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften für die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß dafür darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas über deren Änderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu Lösungen führen, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsmöglichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann für viele Probleme die Existenz einer Optimallösung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer Lösung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen Lösungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften für vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur für ein Problem konnten zufriedenstellende Lösungen berechnet werden. Allerdings ist es möglich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu übertragen. N2 - Optimal control problems have an abundance of applications, for example in shape optimization, in energy management of buildings or in network transport problems. The goal is to control a system in a way that a certain value is minimized or maximized, as for instance its energy consumption. Often, it is also desirable to obtain certain qualitative properties for the control function itself. In this sense, we investigate the total variation, which measures how much a function varies, roughly speaking it indicates a functions change behaviour. Penalizing large variations in the control should lead to solutions that are easier to implement in practice. However, such a procedure also has other advantages and possible applications in mathematical modelling; the existence of an optimal solution for example can be guaranteed for many problems if the total variation is used as a regularization term. The master thesis investigates a general problem class of such optimization problems. In addition to proving the existence of a solution, the objective function was examined for differentiability and the findings were used to construct a solution algorithm based on the proximal gradient method and Bellman's optimality principle. After proving some convergence properties for sequences constructed by the algorithm, it was tested on two problem instances. Satisfactory solutions could only be calculated for one problem. However, it is possible to transfer the ideas of the method to other promising algorithms. KW - Optimale Steuerung KW - Totalvariation KW - Total variation KW - Optimal control KW - Optimale Kontrolle KW - Funktion von beschränkter Variation Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717 ER - TY - THES A1 - Ziemann, Torsten T1 - Notwendige Optimalitätskriterien für eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont T1 - Necessary optimality criteria for a class of optimal control problems with an a priori given infinite time horizon N2 - In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carathéodory studiert. Die lokal absolut stetige Lösung lässt sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es genügen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalitätskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalitätskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zurückgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zurückzuführen ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien mündet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich natürliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So können mit der in dieser Arbeit präsentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bezüglich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen. N2 - In the dissertation "Necessary optimality criteria for a class of control problems with an a priori given infinite time horizon" a contribution is made to the theory of control problems with an a priori given infinite time horizon. This class of problems arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems, where a divergence of the target function to be optimized has to be excluded. The work is based on the Lebesgue integral. The optimization takes place in weighted Hilbert spaces. Specifically, problems whose states are elements of a weighted Sobolev space are considered. The controls belong to a weighted Lebesgue space. The weight function µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 is a suitable choice. The parameter ⍴ > 0 is determined from the dynamics. The optimal control problem thus embeds itself in a convex Hilbert space theory. The admissible processes can be bounded uniformly. Almost everywhere point-wise convergent sequences of valid state trajectories converge in the topology of the Hilbert space as well, due to the Lebesgue dominated convergence theorem. This allows one to study the problem with methods of functional analysis and, on the other hand, to use point-wise arguments. Specifically, the dynamics is studied in the sense of an initial value problem after Carathéodory. The locally absolutely continuous solution can be embedded in the weighted Sobolev space. Local point-wise arguments on the side of the dynamics suffice, to place the problem in the context of a uniform theory with respect to the Hilbert space norm. In this context, the present work deals with the derivation of necessary optimality criteria. Two maximum principles of the Pontryagin type are proved. The core idea to prove these results is the separation of convex sets. Specifically, we examine a convex and closed variation cone, which does not span the entire Hilbert space. The separation theorem of Hahn-Banach provides besides the core conditions of the maximum principle - canonical equation, maximum condition - also the explicit existence of an adjoint, which satisfies the natural transversality condition. For the construction of the variation cone two different types of variation are used according to the two studied optimality criteria. On the one hand, a variation idea based on Euler is used. On the other hand, an approach that can be traced back to Weierstraß is used. A comparison of the derived maximum principles leads to a suitable formulation of a variation in the weighted Hilbert space setting. At the same time, natural barriers of convex analysis emerge. Thus, with the proof technique presented in this work, only problems can be investigated which have affine linear dynamics with respect to the control. KW - Optimale Steuerung KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Notwendige Optimalitätskriterien KW - Pontryagin Maximumprinzip KW - Affin-lineare Dynamik KW - Optimal control KW - Infinite horizon KW - Necessary optimality criteria KW - Pontryagin maximum principle KW - Affin-linear dynamics KW - Steuerungstheorie KW - Optimale Kontrolle KW - Optimalitätsbedingung KW - Pontrjagin-Maximumprinzip Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035 ER - TY - THES A1 - Harder, Felix T1 - On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces T1 - Über Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen N2 - In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting. Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied. We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments. The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory. N2 - In dieser Arbeit werden Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen betrachtet. Insbesondere sind wir an notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für solche Optimierungsprobleme interessiert. Wir studieren Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme sowohl in abstrakten Banachräumen als auch in konkreteren Situationen. So betrachten wir etwa die optimale Steuerung des Hindernisproblems, welches ein typisches Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem in Sobolevräumen ist, sowie auch eine Klasse von inversen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wenden wir unsere Ergebnisse aus den Betrachtungen in abstrakten Banachräumen an, um Optimalitätsbedingungen zu zeigen. Der Ansatz, um Optimalitätsbedingungen in der abstrakten Situation herzuleiten, benutzt die Relaxierung einer Reformulierung des Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems, welche auf der Optimalwertfunktion basiert. Dabei führen wir auch die sogenannten normalkegelerhaltenden Operatoren ein und zeigen, wie dieses Konzept zur Anwendung kommt. Wir gehen auch auf andere Themen, die in diesem Zusammenhang auftreten, ein. So wird der sogenannte „llimiting normal cone“ zu einer Komplementaritätsmenge in Sobolevräumen betrachtet. Diese Komplementaritätsmenge spielt eine zentrale Rolle für die optimale Steuerung des Hindernisproblems. Der „llimiting normal cone“ ist ein Konzept, welches in der variationellen Analysis vorkommt und den gewöhnlichen Normalkegel aus der konvexen Analysis verallgemeinert. Ebenfalls untersucht wird die Fragestellung, in welchen Räumen Legendre-Formen und Legendre-*-Formen existieren können. Es wird gezeigt, dass die Existenz von Legendre-*-Formen in einem reflexiven Banachraum oder einem Raum mit einem separablen Prädualraum impliziert, dass diese Räume bereits isomorph zu einem Hilbertraum sind. Wir betrachten auch eine Diskretisierung eines Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems in Lebesgueräumen. Dabei werden sowohl Fehlerschätzungen gezeigt als auch numerische Experimente präsentiert. Die erhaltenen neuen Resultate in dieser Arbeit werden mit Beispielen und Gegenbeispielen bereichert. Damit die Themen in einer in sich abgeschlossenen Form präsentiert werden können, werden auch bereits bekannte Konzepte eingeführt und grundlegende Eigenschaften diskutiert. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf die Kapazitätstheorie gelegt. KW - Bilevel optimization KW - Optimality conditions KW - Optimal control KW - Inverse optimal control KW - Obstacle problem KW - Zwei-Ebenen-Optimierung KW - Optimalitätsbedingungen KW - Optimale Steuerung KW - Inverse optimale Steuerung KW - Hindernisproblem KW - Optimale Kontrolle KW - Hindernisproblem KW - Optimalitätsbedingung KW - Zwei-Ebenen-Optimierung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755 ER - TY - THES A1 - Dikariev, Illia T1 - Relaxierungen von Steuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont : Young-Maße und Existenz optimaler Lösungen T1 - Relaxations of optimal control problems with infinite horizon : Young measures and existence of optimal solutions N2 - The focus of this work is on the development of existence results for non-convex optimal control problems over an unbounded time horizon. The work is structured into three parts: - the elaboration of necessary functional-analytic foundations, - the derivation of equivalence relations between different types of relaxations, - existence statements for both compact and unbounded control domains. Particularly, the topology of compact convergence is introduced on the space of locally absolutely continuous functions. Further we develop embedding theorems and a Hardy inequality in relation to weighted reflexive Sobolev spaces, which are proposed as state spaces. The integrand of the objective functional is assumed to be a non-negative normal integrand, and the state equation is assumed to be a Carathéodory differential equation. The time interval is endowed with measures induced by weights. We present sufficient conditions to establish the equivalence of three pertinent types of relaxations Γ-regularization, generalized control, and sliding mode. To establish the existence results, we focus on the relaxation based on generalized controls (Young measures). In this context, we develop a suitable disintegration theorem and a weakened Prokhorov condition that are especially applicable to the case of generalized controls and non-linear state equations over an unbounded control domain. On the measure spaces, we introduce the vague or tight topology, depending on whether the control domain is compact or not. In the final part of the work we propose growth conditions on the integrand and on the right-hand side of the state equation to enforce closedness and compactness properties of an admissible set. Correspondingly, appropriate lemmas and existence theorems are presented for the cases of a compact resp. unbounded control domain, based on an existence theorem by Weierstrass. Finally, the existence results are illustrated through application examples. N2 - Der Fokus der vorliegenden Arbeit liegt auf der Entwicklung von Existenzresultaten für nicht konvexe Probleme der optimalen Steuerung über einem unbeschränkten Zeithorizont. Die Arbeit ist in drei Teile gegliedert: - die Ausarbeitung notwendiger funktionalanalytischer Grundlagen, - die Herleitung von Äquivalenzrelationen zwischen Relaxierungen verschiedenen Typs, - Existenzaussagen für kompakte und auch für unbeschränkte Steuerbereiche. Konkret wird auf dem Raum der lokal absolut stetigen Funktionen die Topologie der kompakten Konvergenz eingeführt. Zudem werden Einbettungssätze sowie eine Hardy-Ungleichung in Bezug auf gewichtete reflexive Sobolev-Räume untersucht, welche als Zustandsräume vorgeschlagen werden. Der Integrand des Zielfunktionals wird als nicht negativer normaler Integrand und die Zustandsgleichung als eine Carathéodory-Differentialgleichung vorausgesetzt. Das Zeitintervall wird mit allgemeinen, durch Gewichte induzierten, Maßen versehen. Es werden hinreichende Bedingungen für die Äquivalenz von drei einschlägigen Relaxierungen vorgestellt: Γ-Regularisierung, verallgemeinerte Steuerung, Gleitregime. Um die Existenzresultate aufzustellen, konzentrieren wir uns auf die Relaxierung auf Basis der verallgemeinerten Steuerungen (Young-Maße). Dabei entwickeln wir einen geeigneten Desintegrationssatz sowie eine abgeschwächte Prokhorov-Bedingung, die speziell für den Fall der verallgemeinerten Steuerungen und nicht linearen Zustandsgleichungen auf dem unbeschränkten Steuerbereich Anwendung findet. Auf den Maßräumen führen wir die vage beziehungsweise die straffe Topologie ein, abhängig davon, ob der Steuerbereich kompakt ist oder nicht. Im letzten Teil der Arbeit werden Wachstumsbedingungen an den Integranden sowie an die rechte Seite der Zustandsgleichung vorgeschlagen, um die Abgeschlossenheit und Kompaktheitseigenschaften der zulässigen Menge zu erzwingen. Entsprechend werden passende Lemmata und Existenzsätze für die Fälle eines kompakten beziehungsweise eines unbeschränkten Steuerbereiches auf Basis eines Existenzsatzes von Weierstraß vorgestellt. Abschließend werden die Existenzresultate anhand von Anwendungsbeispielen veranschaulicht. KW - Optimal control KW - Optimale Steuerung KW - Infinite time horizon KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Young measures KW - Young-Maße KW - Relaxed controls KW - Verallgemeinerte Steuerungen KW - Unbounded controls KW - Unbeschränkte Steuerungen KW - Optimale Kontrolle KW - Hardy-Raum KW - Sobolev-Raum KW - Carathéodory-Differentialgleichung KW - Young-Maß Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71078 ER -