TY - THES A1 - Tauchnitz, Nico T1 - Das Pontrjaginsche Maximumprinzip für eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschränkung und seine Anwendung T1 - Pontryagin's maximum principle for a class of hybrid optimal control problems with state constraints and applications N2 - In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu gehörenden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschränkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgewählten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel führt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es möglich, beim Vergleich zulässiger Trajektorien auf die Einschränkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So können wir die Aufgabe auf der Menge aller zulässigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalität die Schaltstrategie als Steuervariable berücksichtigen und dürfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen. N2 - We prove necessary conditions for problems in optimal control theory with continuous state trajectories which are characterized by state constraints as well as a finite number of different dynamics with corresponding cost functions and control sets. The link of a dynamic to the corresponding cost function and control set is covered by the strategy term. In the problems of optimal control examined in this thesis, the strategy can be arbitrarily switched. The change of different strategies on the considered time interval is based on a switching strategy which states the switching times and the chosen strategies. These switchings don't lead to switching costs. New to this representation of hybrid optimal control problems is the modeling of switching strategies by the splitting of the examined time interval. This way, in the comparison of admissible trajectories it is possible to dispense with the limitation of the equal number of switching times and the switching to the same strategies in the corresponding switching times. Therefore, we can examine the problem on the set of all feasible switching strategies, consider the switching strategy as control in the term of strong local optimality and are allowed to merge necessary conditions in the form of the Pontryagin maximum principle. KW - Pontrjagin-Maximumprinzip KW - Beweis KW - Optimale Kontrolle KW - Optimale Steuerung KW - Hybride Systeme KW - Zustandsbeschränkungen KW - Pontrjaginsches Maximumprinzip KW - Notwendige Bedingungen KW - Optimal control KW - Hybrid system KW - State constraints KW - Pontryagin maximum principle KW - Necessary conditions Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-17877 ER - TY - THES A1 - Burtchen, Angie T1 - Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren T1 - A contribution to optimal control problems with infinite horizon - theory and spectral methods N2 - Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht. N2 - This work focuses on linear-quadratic optimal control problems with the a priori given infinite horizon [0,∞), presents an indirect spectral method for the solution of this class of problems and shows its applicability in several numerical experiments. Linear-quadratic problems represent an important class in the theory of optimal control. They are used for the approximation of nonlinear problems as well as for methods of sequential quadratic programming. The formulation with an infinite horizon can be motivated by different applications: by dynamical systems in economics and biology, where recent decisions affect future generations; by problems with finite horizon, where a suitable transformation to an infinite horizon can be used to handle several singularities of the objective (e.g. the brachistochrone problem in calculus of variation) and by technical or physical applications, where the infinite horizon results naturally from the problem setting (e.g. the one-dimensional harmonic oscillator in quantum mechanics). Moreover linear-quadratic control problems with infinite horizon arise for stabilizing a dynamic system asymptotically. Motivated by this wide range of applications this class of problems is considered in detail to establish a basis for an indirect solution method. The problem formulation on [0,∞) implies a weighted space setting and can be treated as a linear-quadratic problem in Hilbert spaces with classical tools of convex analysis. For the state space a weighted Sobolev space is chosen and for the control space a weighted Lebesgue space is considered. The weight function is additionally involved in the objective, where the integral is understood in Lebesgue sense. The question of existence and uniqueness of an optimal solution is studied and a Pontryagin type maximum principle is established, which provides in addition to the canonical equation and the maximum condition, the existence of an adjoint satisfying a natural transversality condition. This plays a crucial role for the construction of the spectral method. Using a combination of the canonical equation and the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration an integral equation is established to estimate the initial value of the adjoint. The unknown functions are approximated by finite sums of generalized Laguerre polynomials, which form a complete orthogonal system in a weighted Lebesgue space over (0,∞). In combination with the integrated transversality condition the differential equations are collocated at a set of preselected points and the optimal control problem can be transformed into a linear equation system. Finally, the successful application of the proposed method is illustrated with some numerical examples of optimal control problems including a problem to find an asymptotically stabilizing control for a linearized dynamic system. KW - Optimale Steuerung KW - Spektralmethoden KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Fourier-Laguerre-Reihen KW - Optimal control theory KW - Infinite horizon KW - Spectral methods KW - Fourier-Laguerre analysis KW - Optimale Kontrolle KW - Laguerre-Polynome KW - Spektralmethode Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679 ER - TY - THES A1 - Kolo, Katharina T1 - Ein dual-basierter Ansatz zur Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont T1 - A dual-based approach to the treatment of linear-quadratic optimal control problems with an a priori given infinite horizon N2 - Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Berücksichtigung von Steuerungsbeschränkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enthält die Arbeit zudem eine ausführliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Dafür betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. Für die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird dafür über gewichteten Funktionenräumen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-Räume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausführungen zwischen Problemen über Funktionenräumen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenräumen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zunächst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler Lösungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualität wird hierfür eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenräumen mit Dichtefunktionen hergeleitet. Für diese können schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht. N2 - The present work focuses on a dual-based treatment of linear-quadratic optimal control problems with an a priori given infinite time horizon and control constraints. In addition to the theoretical and analytical investigation of such types of problems, this work also includes a detailed presentation of numerical experiments based on applications from biology and epidemiology. For this purpose, in addition to the Lotka-Volterra system, we also consider a version of the SEIR model, which describes the spread of an infectious disease. Thereby the parameter sets involved in the model are based on the current statistical data of the viral disease Covid-19. Linear-quadratic control problems represent an important class in the theory of optimal control, since they are used in the approximation of non-linear problems, as well as in the field of sequential quadratic optimization. For example, the choice of an a priori given infinite time horizon arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems. Motivated by this wide range of applications this class of problems is considered in detail. The problem formulation over an infinite time horizon implies a weighted space setting. For the state space a weighted Sobolev space is chosen and for the control space a weighted Lebesgue space is considered. Therefore we distinguish between problems in functional spaces with proper weight functions and functional spaces with density functions. We discuss the existence and the uniqueness of optimal solutions of the underlying problemformulation and specify optimality conditions for problems in functional spaces with density functions. The missing formulation of necessary optimality conditions for problems in functional spaces with a proper weight function finally motivates a dual-based approach. Following this approach we present a construction of a dual problem based on the ideas of the Lagrange duality. This leads us to a dual program in the form of a variational problem in weighted functional spaces with density functions. We succeded in providing saddle point conditions and necessary optimality conditions in form of a Pontryagin maximum principle. These necessary conditions provide in addition to the canonical equation and the maximum condition the existence of an adjoint satisfying a natural transversality condition. For the numerical treatment of the dual program we present a direct pseudospectral method based on the usage of generalized Laguerre polynomials which build a complete orthogonal set in the weighted Lebesgue space. The successful application of the proposed method is illustrated by means of various numerical examples from optimal control theory as well as from asymptotic controllability field. KW - Optimale Steuerung KW - Optimal control KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Infinit horizon KW - Dualität KW - Duality KW - Stabilisierung KW - Stabilization KW - Pseudospektralmethode KW - Pseudo spectral method KW - Lagrange-Dualität KW - Optimale Kontrolle KW - Stabilisierung KW - Epidemiologie KW - COVID-19 Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55224 ER - TY - THES A1 - Wenzke, Diana T1 - Beiträge zu Problemen der Optimalsteuerung mit unendlichem Zeithorizont - Transformationseigenschaften T1 - Contributions to optimal control problems with an infinite time horizon - transformation properties N2 - Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird für Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, für welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalitätsbedingung enthalten. An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularitäten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel für Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in natürlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevräumen angehören. Das erklärt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips für Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide Sätze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenräume Hilberträume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel für Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der Hölderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gewöhnlichen Differentialrechnung benötigt, um mittels des Beweises der Äquivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz für ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erfüllten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularitäten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum für Steuerungsprobleme mit Singularitäten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes lässt sich explizit nachprüfen, welche analytischen Eigenschaften für die Lösung zu erwarten sind. N2 - The subject of the present work are control problems with both finite and infinite time horizon. Transformations of state, control and time are applied to both. This extends the class of dynamics in problems with an infinite time horizon, for which necessary conditions exist. It is noteworthy that these always contain an explicit transversality condition. An example is demonstrated why the use of Riemann's integral concept and the rule of partial integration in Riemann's sense seems inappropriate, if one considers control problems with infinite time horizon or singularities in the cost functional. Instead, this rule is formulated for Lebesgue integrals. In doing so, the incoming functions belong to weighted Sobolev spaces in a natural way. This explains why the theoretical basis of the thesis is an existence theorem and necessary conditions in the form of a Pontrjagin's maximum principle for control problems with infinite time horizon: Both theorems have been proven by using Hilbert space techniques. They use, that the underestimated function spaces are Hilbert spaces. In addition to the substitution rule for Lebesgue integrals, the Gronwall lemma and Hölder's inequality, the basics of ordinary differential calculus are used in order to obtain new results by means of the proof of the equivalence of two task classes. Thus, it has been possible to formulate new necessary conditions and a new existence theorem for a control problem with fixed time. The special finding is that under fulfilled conditions it does not matter whether the considered problem has singularities in the cost functional, in the dynamic or even in the state functions or not. As a suitable function space for control problems with singularities, a weighted Sobolev space results again, which can always be suitably determined from the data of a task. On the basis of this space, it is possible to explicitly verify which analytical properties are to be expected for the solution. KW - Transformationen KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Optimale Steuerung KW - Singularitäten KW - Gewichtete Funktionenräume KW - Transformations KW - Infinite horizon KW - Optimal control KW - Singularities KW - Weighted sobolev spaces KW - Gewichteter Funktionenraum KW - Optimale Kontrolle KW - Singularität KW - Transformation Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-52026 ER - TY - THES A1 - Lykina, Valeriya T1 - Beiträge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont T1 - Contributions to the theory of infinite horizon optimal control problems N2 - In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zulässigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalität testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung berücksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es Sätze über Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate über die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesgueräumen über einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes für die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingeführte Zustandsbeschränkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualitätstheorie für Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenräumen und die Herleitung hinreichender Optimalitätsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Klötzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualitätstheorie werden hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschwächte Version dieser Bedingungen unter Berücksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele präsentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zulässigen Bereichen führen oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abhängigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen Sätze wird ausführlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert. N2 - The present doctoral thesis provides a contribution to the theory of optimal control problems with infinite horizon. This class of problems mainly arises while dealing with macroeconomic models like the Ramsey model and its various generalizations as well as biological models like prey-predator models. One of the key ideas of this work is the choice of a weighted Sobolev- and weighted Lebesgue space for the role of state and control space respectively. This idea is consequently followed through all the chapters and the properties of these weighted functional spaces are used with benefit in order to prove theoretical results. Another crucial idea is the introduction of an additional pure state constraint into the problem statement. Under certain assumptions it yields the existence of an optimal solution which is otherwise not necessarily given. There are three weight functions in the problem setting which are newly to define for each particular model. These are the weight func tion in the objective, the weight function for weighting the processes and the weight function from the state constraint. The interplay of them is to observe while testing the process for the strong local optimality after introducing an additional weight function for weighting the neighborhood of the candidate process. The thesis covers two groups of theoretical investigations. Firstly, there are theorems concerning semicontinuity of integral functionals with Lebesgue interpretation of the integral together with results about continuity of Nemytskij operators defined and acting in weighted Lebesgue spaces over sets of infinite measure. The named results serve as a fundament for formulation of an existence theorem for considered problem whose proof is based on the scheme of generalized Weierstraß theorem. The introduced state constraint plays hereby a crucial role. Secondly, there are results on duality theory for control problems and derivation of sufficient optimality cond itions. Here a dual problem in the sense of Klötzler is constructed which is an infinite dimensional optimization problem. Using the developed duality theory one obtains second order sufficient conditions for strong local optimality. Taking the active state constraints into account, a weakened version of this theorem is provided. All theoretical results are reinforced through application of them onto several numerical examples. Further on, the necessity of strong distinction between different interpretations of the integral in the objective is demonstrated by an example. The choice of different integral notions can lead to different feasible sets of the underlying optimal control problem as well as to completely different optimal values of the objective in dependence on the used integral notion. For this reason in the present work it is consequently distinguished between the integral notions of Lebesgue and Riemann. The applicability of the proved theorems is demonstrated i n detail on a resource allocation model, the linear Ramsey model as well as the model of optimal renewal of a technical resource. KW - Optimale Kontrolle KW - Analysis KW - Optimale Steuerung KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Hinreichende Optimalitätsbedingungen KW - Existenzsatz KW - Gewichtete Funktionenräume KW - Optimal control KW - Infinite horizon KW - Sufficient optimality conditions KW - Existence theorem KW - Weighted functional spaces Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615 ER - TY - THES A1 - Chmakova, Alina T1 - Symmetriereduktionen und explizite Lösungen für ein nichtlineares Modell eines Preisbildungsprozesses in illiquiden Märkten T1 - Symmetry reductions and explicit solutions for a nonlinear model of a price process in illiquid market N2 - Diese Arbeit ist einer Verallgemeinerung des bekannten Black-Scholes-Modells gewidmet, welches eines der erfolgreichsten Modelle zur Optionspreisbewertung darstellt. Die untersuchende Modellgleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung und beschreibt einen Rückkopplungseffekt des Großhändlers auf dem Markt. Die Methoden der Theorie der Lieschen Gruppen in Anwendung auf Differentialgleichung werden zur Untersuchung dieser Gleichung benutzt. Eine abschließende Untersuchung der algebraischen Struktur, welche die Modellgleichung besitzt, wurde durchgeführt. In der Arbeit wurde eine allgemeine Form der Lie-Punktsymmetriegruppe der Gleichung aufgefunden. Es hat uns gelungen unter zusätzlichen Bedingungen einige Klasse invarianter expliziter Lösungen der nichtlinearen Modellgleichung zu gewinnen. Am Beispiel dieser expliziter Lösungen wurde Verifikation grundlegender numerischer Verfahren durchgeführt. N2 - This work reprepresents a generalization of a well known Black-Scholes model, one of the most successful models for an option price. The studied model equation is a nonlinear partial differential equation that describes a feedback effect of a large trader on a market. The methods of Lie group theory are used to study the equation. A complete study of the algebraic structure of the model equation was made. A general form of a Lie point symmetry group of the equation was found. Using additional conditions we were able to find several classes of invariant explicit solutions of the nonlinear model equation. These explicit solutions were used to verify some basic numerical methods. KW - Unvollkommener Kapitalmarkt KW - Derivat KW - Optionspreistheorie KW - Black-Scholes-Modell KW - Nichtlineares mathematisches Modell Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000748 ER -