TY - THES A1 - Tauchnitz, Nico T1 - Das Pontrjaginsche Maximumprinzip für eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschränkung und seine Anwendung T1 - Pontryagin's maximum principle for a class of hybrid optimal control problems with state constraints and applications N2 - In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu gehörenden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschränkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgewählten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel führt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es möglich, beim Vergleich zulässiger Trajektorien auf die Einschränkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So können wir die Aufgabe auf der Menge aller zulässigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalität die Schaltstrategie als Steuervariable berücksichtigen und dürfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen. N2 - We prove necessary conditions for problems in optimal control theory with continuous state trajectories which are characterized by state constraints as well as a finite number of different dynamics with corresponding cost functions and control sets. The link of a dynamic to the corresponding cost function and control set is covered by the strategy term. In the problems of optimal control examined in this thesis, the strategy can be arbitrarily switched. The change of different strategies on the considered time interval is based on a switching strategy which states the switching times and the chosen strategies. These switchings don't lead to switching costs. New to this representation of hybrid optimal control problems is the modeling of switching strategies by the splitting of the examined time interval. This way, in the comparison of admissible trajectories it is possible to dispense with the limitation of the equal number of switching times and the switching to the same strategies in the corresponding switching times. Therefore, we can examine the problem on the set of all feasible switching strategies, consider the switching strategy as control in the term of strong local optimality and are allowed to merge necessary conditions in the form of the Pontryagin maximum principle. KW - Pontrjagin-Maximumprinzip KW - Beweis KW - Optimale Kontrolle KW - Optimale Steuerung KW - Hybride Systeme KW - Zustandsbeschränkungen KW - Pontrjaginsches Maximumprinzip KW - Notwendige Bedingungen KW - Optimal control KW - Hybrid system KW - State constraints KW - Pontryagin maximum principle KW - Necessary conditions Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-17877 ER - TY - THES A1 - Lykina, Valeriya T1 - Beiträge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont T1 - Contributions to the theory of infinite horizon optimal control problems N2 - In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zulässigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalität testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung berücksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es Sätze über Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate über die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesgueräumen über einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes für die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingeführte Zustandsbeschränkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualitätstheorie für Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenräumen und die Herleitung hinreichender Optimalitätsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Klötzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualitätstheorie werden hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschwächte Version dieser Bedingungen unter Berücksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele präsentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zulässigen Bereichen führen oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abhängigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen Sätze wird ausführlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert. N2 - The present doctoral thesis provides a contribution to the theory of optimal control problems with infinite horizon. This class of problems mainly arises while dealing with macroeconomic models like the Ramsey model and its various generalizations as well as biological models like prey-predator models. One of the key ideas of this work is the choice of a weighted Sobolev- and weighted Lebesgue space for the role of state and control space respectively. This idea is consequently followed through all the chapters and the properties of these weighted functional spaces are used with benefit in order to prove theoretical results. Another crucial idea is the introduction of an additional pure state constraint into the problem statement. Under certain assumptions it yields the existence of an optimal solution which is otherwise not necessarily given. There are three weight functions in the problem setting which are newly to define for each particular model. These are the weight func tion in the objective, the weight function for weighting the processes and the weight function from the state constraint. The interplay of them is to observe while testing the process for the strong local optimality after introducing an additional weight function for weighting the neighborhood of the candidate process. The thesis covers two groups of theoretical investigations. Firstly, there are theorems concerning semicontinuity of integral functionals with Lebesgue interpretation of the integral together with results about continuity of Nemytskij operators defined and acting in weighted Lebesgue spaces over sets of infinite measure. The named results serve as a fundament for formulation of an existence theorem for considered problem whose proof is based on the scheme of generalized Weierstraß theorem. The introduced state constraint plays hereby a crucial role. Secondly, there are results on duality theory for control problems and derivation of sufficient optimality cond itions. Here a dual problem in the sense of Klötzler is constructed which is an infinite dimensional optimization problem. Using the developed duality theory one obtains second order sufficient conditions for strong local optimality. Taking the active state constraints into account, a weakened version of this theorem is provided. All theoretical results are reinforced through application of them onto several numerical examples. Further on, the necessity of strong distinction between different interpretations of the integral in the objective is demonstrated by an example. The choice of different integral notions can lead to different feasible sets of the underlying optimal control problem as well as to completely different optimal values of the objective in dependence on the used integral notion. For this reason in the present work it is consequently distinguished between the integral notions of Lebesgue and Riemann. The applicability of the proved theorems is demonstrated i n detail on a resource allocation model, the linear Ramsey model as well as the model of optimal renewal of a technical resource. KW - Optimale Kontrolle KW - Analysis KW - Optimale Steuerung KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Hinreichende Optimalitätsbedingungen KW - Existenzsatz KW - Gewichtete Funktionenräume KW - Optimal control KW - Infinite horizon KW - Sufficient optimality conditions KW - Existence theorem KW - Weighted functional spaces Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615 ER - TY - THES A1 - Chmakova, Alina T1 - Symmetriereduktionen und explizite Lösungen für ein nichtlineares Modell eines Preisbildungsprozesses in illiquiden Märkten T1 - Symmetry reductions and explicit solutions for a nonlinear model of a price process in illiquid market N2 - Diese Arbeit ist einer Verallgemeinerung des bekannten Black-Scholes-Modells gewidmet, welches eines der erfolgreichsten Modelle zur Optionspreisbewertung darstellt. Die untersuchende Modellgleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung und beschreibt einen Rückkopplungseffekt des Großhändlers auf dem Markt. Die Methoden der Theorie der Lieschen Gruppen in Anwendung auf Differentialgleichung werden zur Untersuchung dieser Gleichung benutzt. Eine abschließende Untersuchung der algebraischen Struktur, welche die Modellgleichung besitzt, wurde durchgeführt. In der Arbeit wurde eine allgemeine Form der Lie-Punktsymmetriegruppe der Gleichung aufgefunden. Es hat uns gelungen unter zusätzlichen Bedingungen einige Klasse invarianter expliziter Lösungen der nichtlinearen Modellgleichung zu gewinnen. Am Beispiel dieser expliziter Lösungen wurde Verifikation grundlegender numerischer Verfahren durchgeführt. N2 - This work reprepresents a generalization of a well known Black-Scholes model, one of the most successful models for an option price. The studied model equation is a nonlinear partial differential equation that describes a feedback effect of a large trader on a market. The methods of Lie group theory are used to study the equation. A complete study of the algebraic structure of the model equation was made. A general form of a Lie point symmetry group of the equation was found. Using additional conditions we were able to find several classes of invariant explicit solutions of the nonlinear model equation. These explicit solutions were used to verify some basic numerical methods. KW - Unvollkommener Kapitalmarkt KW - Derivat KW - Optionspreistheorie KW - Black-Scholes-Modell KW - Nichtlineares mathematisches Modell Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-000000748 ER -