TY - THES A1 - Dikariev, Illia T1 - Relaxierungen von Steuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont : Young-Maße und Existenz optimaler Lösungen T1 - Relaxations of optimal control problems with infinite horizon : Young measures and existence of optimal solutions N2 - The focus of this work is on the development of existence results for non-convex optimal control problems over an unbounded time horizon. The work is structured into three parts: - the elaboration of necessary functional-analytic foundations, - the derivation of equivalence relations between different types of relaxations, - existence statements for both compact and unbounded control domains. Particularly, the topology of compact convergence is introduced on the space of locally absolutely continuous functions. Further we develop embedding theorems and a Hardy inequality in relation to weighted reflexive Sobolev spaces, which are proposed as state spaces. The integrand of the objective functional is assumed to be a non-negative normal integrand, and the state equation is assumed to be a Carathéodory differential equation. The time interval is endowed with measures induced by weights. We present sufficient conditions to establish the equivalence of three pertinent types of relaxations Γ-regularization, generalized control, and sliding mode. To establish the existence results, we focus on the relaxation based on generalized controls (Young measures). In this context, we develop a suitable disintegration theorem and a weakened Prokhorov condition that are especially applicable to the case of generalized controls and non-linear state equations over an unbounded control domain. On the measure spaces, we introduce the vague or tight topology, depending on whether the control domain is compact or not. In the final part of the work we propose growth conditions on the integrand and on the right-hand side of the state equation to enforce closedness and compactness properties of an admissible set. Correspondingly, appropriate lemmas and existence theorems are presented for the cases of a compact resp. unbounded control domain, based on an existence theorem by Weierstrass. Finally, the existence results are illustrated through application examples. N2 - Der Fokus der vorliegenden Arbeit liegt auf der Entwicklung von Existenzresultaten für nicht konvexe Probleme der optimalen Steuerung über einem unbeschränkten Zeithorizont. Die Arbeit ist in drei Teile gegliedert: - die Ausarbeitung notwendiger funktionalanalytischer Grundlagen, - die Herleitung von Äquivalenzrelationen zwischen Relaxierungen verschiedenen Typs, - Existenzaussagen für kompakte und auch für unbeschränkte Steuerbereiche. Konkret wird auf dem Raum der lokal absolut stetigen Funktionen die Topologie der kompakten Konvergenz eingeführt. Zudem werden Einbettungssätze sowie eine Hardy-Ungleichung in Bezug auf gewichtete reflexive Sobolev-Räume untersucht, welche als Zustandsräume vorgeschlagen werden. Der Integrand des Zielfunktionals wird als nicht negativer normaler Integrand und die Zustandsgleichung als eine Carathéodory-Differentialgleichung vorausgesetzt. Das Zeitintervall wird mit allgemeinen, durch Gewichte induzierten, Maßen versehen. Es werden hinreichende Bedingungen für die Äquivalenz von drei einschlägigen Relaxierungen vorgestellt: Γ-Regularisierung, verallgemeinerte Steuerung, Gleitregime. Um die Existenzresultate aufzustellen, konzentrieren wir uns auf die Relaxierung auf Basis der verallgemeinerten Steuerungen (Young-Maße). Dabei entwickeln wir einen geeigneten Desintegrationssatz sowie eine abgeschwächte Prokhorov-Bedingung, die speziell für den Fall der verallgemeinerten Steuerungen und nicht linearen Zustandsgleichungen auf dem unbeschränkten Steuerbereich Anwendung findet. Auf den Maßräumen führen wir die vage beziehungsweise die straffe Topologie ein, abhängig davon, ob der Steuerbereich kompakt ist oder nicht. Im letzten Teil der Arbeit werden Wachstumsbedingungen an den Integranden sowie an die rechte Seite der Zustandsgleichung vorgeschlagen, um die Abgeschlossenheit und Kompaktheitseigenschaften der zulässigen Menge zu erzwingen. Entsprechend werden passende Lemmata und Existenzsätze für die Fälle eines kompakten beziehungsweise eines unbeschränkten Steuerbereiches auf Basis eines Existenzsatzes von Weierstraß vorgestellt. Abschließend werden die Existenzresultate anhand von Anwendungsbeispielen veranschaulicht. KW - Optimal control KW - Optimale Steuerung KW - Infinite time horizon KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Young measures KW - Young-Maße KW - Relaxed controls KW - Verallgemeinerte Steuerungen KW - Unbounded controls KW - Unbeschränkte Steuerungen KW - Optimale Kontrolle KW - Hardy-Raum KW - Sobolev-Raum KW - Carathéodory-Differentialgleichung KW - Young-Maß Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71078 ER -