TY - THES A1 - Burtchen, Angie T1 - Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren T1 - A contribution to optimal control problems with infinite horizon - theory and spectral methods N2 - Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht. N2 - This work focuses on linear-quadratic optimal control problems with the a priori given infinite horizon [0,∞), presents an indirect spectral method for the solution of this class of problems and shows its applicability in several numerical experiments. Linear-quadratic problems represent an important class in the theory of optimal control. They are used for the approximation of nonlinear problems as well as for methods of sequential quadratic programming. The formulation with an infinite horizon can be motivated by different applications: by dynamical systems in economics and biology, where recent decisions affect future generations; by problems with finite horizon, where a suitable transformation to an infinite horizon can be used to handle several singularities of the objective (e.g. the brachistochrone problem in calculus of variation) and by technical or physical applications, where the infinite horizon results naturally from the problem setting (e.g. the one-dimensional harmonic oscillator in quantum mechanics). Moreover linear-quadratic control problems with infinite horizon arise for stabilizing a dynamic system asymptotically. Motivated by this wide range of applications this class of problems is considered in detail to establish a basis for an indirect solution method. The problem formulation on [0,∞) implies a weighted space setting and can be treated as a linear-quadratic problem in Hilbert spaces with classical tools of convex analysis. For the state space a weighted Sobolev space is chosen and for the control space a weighted Lebesgue space is considered. The weight function is additionally involved in the objective, where the integral is understood in Lebesgue sense. The question of existence and uniqueness of an optimal solution is studied and a Pontryagin type maximum principle is established, which provides in addition to the canonical equation and the maximum condition, the existence of an adjoint satisfying a natural transversality condition. This plays a crucial role for the construction of the spectral method. Using a combination of the canonical equation and the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration an integral equation is established to estimate the initial value of the adjoint. The unknown functions are approximated by finite sums of generalized Laguerre polynomials, which form a complete orthogonal system in a weighted Lebesgue space over (0,∞). In combination with the integrated transversality condition the differential equations are collocated at a set of preselected points and the optimal control problem can be transformed into a linear equation system. Finally, the successful application of the proposed method is illustrated with some numerical examples of optimal control problems including a problem to find an asymptotically stabilizing control for a linearized dynamic system. KW - Optimale Steuerung KW - Spektralmethoden KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Fourier-Laguerre-Reihen KW - Optimal control theory KW - Infinite horizon KW - Spectral methods KW - Fourier-Laguerre analysis KW - Optimale Kontrolle KW - Laguerre-Polynome KW - Spektralmethode Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679 ER - TY - THES A1 - Ziemann, Torsten T1 - Notwendige Optimalitätskriterien für eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont T1 - Necessary optimality criteria for a class of optimal control problems with an a priori given infinite time horizon N2 - In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carathéodory studiert. Die lokal absolut stetige Lösung lässt sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es genügen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalitätskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalitätskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zurückgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zurückzuführen ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien mündet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich natürliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So können mit der in dieser Arbeit präsentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bezüglich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen. N2 - In the dissertation "Necessary optimality criteria for a class of control problems with an a priori given infinite time horizon" a contribution is made to the theory of control problems with an a priori given infinite time horizon. This class of problems arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems, where a divergence of the target function to be optimized has to be excluded. The work is based on the Lebesgue integral. The optimization takes place in weighted Hilbert spaces. Specifically, problems whose states are elements of a weighted Sobolev space are considered. The controls belong to a weighted Lebesgue space. The weight function µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 is a suitable choice. The parameter ⍴ > 0 is determined from the dynamics. The optimal control problem thus embeds itself in a convex Hilbert space theory. The admissible processes can be bounded uniformly. Almost everywhere point-wise convergent sequences of valid state trajectories converge in the topology of the Hilbert space as well, due to the Lebesgue dominated convergence theorem. This allows one to study the problem with methods of functional analysis and, on the other hand, to use point-wise arguments. Specifically, the dynamics is studied in the sense of an initial value problem after Carathéodory. The locally absolutely continuous solution can be embedded in the weighted Sobolev space. Local point-wise arguments on the side of the dynamics suffice, to place the problem in the context of a uniform theory with respect to the Hilbert space norm. In this context, the present work deals with the derivation of necessary optimality criteria. Two maximum principles of the Pontryagin type are proved. The core idea to prove these results is the separation of convex sets. Specifically, we examine a convex and closed variation cone, which does not span the entire Hilbert space. The separation theorem of Hahn-Banach provides besides the core conditions of the maximum principle - canonical equation, maximum condition - also the explicit existence of an adjoint, which satisfies the natural transversality condition. For the construction of the variation cone two different types of variation are used according to the two studied optimality criteria. On the one hand, a variation idea based on Euler is used. On the other hand, an approach that can be traced back to Weierstraß is used. A comparison of the derived maximum principles leads to a suitable formulation of a variation in the weighted Hilbert space setting. At the same time, natural barriers of convex analysis emerge. Thus, with the proof technique presented in this work, only problems can be investigated which have affine linear dynamics with respect to the control. KW - Optimale Steuerung KW - Unendlicher Zeithorizont KW - Notwendige Optimalitätskriterien KW - Pontryagin Maximumprinzip KW - Affin-lineare Dynamik KW - Optimal control KW - Infinite horizon KW - Necessary optimality criteria KW - Pontryagin maximum principle KW - Affin-linear dynamics KW - Steuerungstheorie KW - Optimale Kontrolle KW - Optimalitätsbedingung KW - Pontrjagin-Maximumprinzip Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035 ER -