TY - THES A1 - Mbouandi Njiasse, Ibrahim T1 - Stochastic models and optimal control of epidemics under partial information T1 - Stochastische Modelle und optimale Steuerung von Epidemien unter unvollständiger Information N2 - In this thesis, we develop a mathematical framework to estimate the compartment sizes of an epidemic model with some unobserved compartments (i.e., a model with partial information) and formulate a social planner's stochastic optimal control problem for such an epidemic. Including asymptomatic and unreported infectious individuals in the model allows a more realistic description of the course of an epidemic and avoids misleading estimation. In order to estimate the unobservable states, a suitable description of the dynamics of the epidemic progression by a diffusion approximation is achieved using counting processes. The estimation of the unobservable states is attributed to a stochastic filter problem. To solve this problem, we use the extended Kalman filter, which provides approximate solutions for such non-standard filter problems. This approach is applied to the state estimation of a model with incomplete information for a disease with lifelong immunity after recovery or vaccination. Simulations are carried out to demonstrate the effectiveness of this approach in practice. The main part of this work addresses a social planner's stochastic optimal control problem for an epidemic model with a partially observed state process. It decomposes the population into susceptible, detected and non-detected infected, detected and non-detected recovered, and hospitalized individuals. Control measures include social distancing, testing, and vaccination. We apply a filtering argument to transform the partially observable stochastic optimal control problem into a completely observable control problem by replacing the hidden state process with the associated Kalman filter processes. This transformed problem with an eight-dimensional state process is treated as a Markov decision process after a time discretization. The associated Bellman equation is solved numerically using a backward recursion algorithm combined with state discretization and quantization techniques to mitigate the curse of dimensionality. In particular, two approaches are implemented. The first involves state discretization and linear interpolation of the value function between grid points, while the second utilizes state discretization and parameterization of the value function with educated ansatz functions. Extensive numerical experiments are presented to demonstrate the effectiveness of both approximate optimal controls in containing the epidemic. Finally, we generalize the results of Picard (1991) on the efficiency of the continuous-time extended Kalman filter with small noise scaled by a parameter ε>0. First, we show that when the observation drift coefficient is strongly injective and the signal and observation drift become linear for ε → 0, the estimation error is of order √ε. Subsequently, we establish conditions under which the error in the initial filter estimate decays exponentially fast. N2 - Diese Arbeit behandelt mathematische Methoden zur Schätzung der Kompartimentgrößen eines Epidemiemodells mit nicht beobachtbaren Kompartimenten (d.h. ein Modell mit unvollständiger Information) und formuliert ein stochastisches Optimierungsproblem für einen gesellschaftlichen Entscheidungsträger. Die Einbeziehung asymptomatischer und nicht gemeldeter Infektionen ermöglicht eine realistischere Beschreibung des Epidemieverlaufs und vermeidet fehlerhafte Schätzungen. Die zur Beschreibung des Epidemieverlaufs verwendeten Zählprozesse werden zunächst durch Diffusionsprozesse approximiert. Die Schätzung der nicht beobachtbaren Zustände führt auf ein stochastisches Filterproblem in Nicht-Standard Form. Zur näherungsweisen Lösung wird der erweiterte Kalman-Filter verwendet. Dieser Ansatz wird auf die Zustandsschätzung eines Modells mit unvollständiger Information für eine Krankheit mit lebenslanger Immunität nach Genesung oder Impfung angewendet. Die durchgeführten Simulationen demonstrieren die Wirksamkeit dieses Ansatzes in der Praxis. Der Hauptteil dieser Arbeit behandelt ein stochastisches optimales Kontrollproblem eines Entscheidungsträgers für ein Epidemiemodell mit einem unvollständig beobachtbaren Zustandsprozess. Es unterteilt die Bevölkerung in anfällige, erkannte und nicht erkannte infizierte, erkannte und nicht erkannte genesene sowie hospitalisierte Personen. Zu den Kontrollmaßnahmen gehören Social Distancing, Tests und Impfungen. Das unvollständig beobachtbare stochastische optimale Kontrollproblem in ein vollständig beobachtbares Problem umgewandelt, indem der verborgene Zustandsprozess durch die zugehörigen Kalman-Filterprozesse ersetzt wird. Dieses transformierte Problem mit einem achtdimensionalen Zustandsprozess wird nach Zeitdiskretisierung als Markovscher Entscheidungsprozess behandelt. Die zugehörige Bellman-Gleichung wird numerisch unter Verwendung einer Rückwärtsrekursion in Kombination mit Zustandsdiskretisierungs- und Quantisierungstechniken gelöst, um den Fluch dem Dimensionalität zu begegnen. Es werden zwei Ansätze implementiert. Der erste umfasst die Zustandsdiskretisierung und lineare Interpolation der Wertfunktion zwischen Gitterpunkten, während der zweite die Zustandsdiskretisierung und Parametrisierung der Wertfunktion mit geeignet gewählten Ansatzfunktionen nutzt. Ergebnisse umfangreicher numerische Experimente zeigen die Wirksamkeit beider approximativer optimaler Kontrollen bei der Eindämmung der Epidemie. Schließlich verallgemeinern wir die Ergebnisse von Picard (1991) zur Effizienz des zeitstetigen erweiterten Kalman-Filters mit schwachem Rauschen, skaliert durch einen Parameter ε>0. Wir zeigen, dass, wenn der Driftkoeffizient der Beobachtungen stark injektiv ist und die Signal- und Beobachtungsdrift für ε → 0 linear werden, der Schätzfehler von der Größenordnung √ε ist. Weiterhin finden wir Bedingungen, unter denen der Fehler in der anfänglichen Filterschätzung exponentiell schnell abklingt. KW - Compartmental model KW - Partial information KW - Extended Kalman filter KW - Stochastic optimal control KW - Dynamic programming KW - Kompartimentmodell KW - Teilinformationen KW - Erweiterter Kalman-Filter KW - Stochastische optimale Steuerung KW - Dynamische Programmierung KW - Dynamische Optimierung KW - Kompartimentmodell KW - Kalman-Filter KW - Stochastische optimale Kontrolle Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71272 ER - TY - THES A1 - Ouabo Kamkumo, Florent T1 - Stochastic epidemic models with partial information and dark figure estimation T1 - Stochastische Epidemiemodelle mit partieller Information und Schätzung der Dunkelziffer N2 - This thesis presents a novel stochastic modeling framework for epidemic dynamics, focusing on the challenges posed by non-observable states and the gradual decline of immunity, as revealed by the Covid-19 pandemic. Our research develops an extended compartmental model that incorporates sequences of cascade states to accurately represent the progressive loss of immunity after vaccination or recovery. This model, rooted in a non-homogeneous continuous-time Markov chain and approximated by a diffusion process, facilitates efficient computation. The resulting dynamics exhibit non-linearities in both the drift and diffusion coefficients, making the process of hidden state estimation particularly challenging. These complexities highlight the need for advanced techniques to accurately capture and predict the system's behavior under partial observability. A novel approach using cascade states is introduced to tackle the issue of partially hidden compartments where either inflow or outflow is observed, but not both. By leveraging information from observed transitions, this method significantly enhances model accuracy. The framework also enables the application of advanced filtering techniques, particularly the Extended Kalman Filter (EKF), for estimating both hidden epidemic states and time-varying parameters. This allows for calibrating based on real data, ensuring robust and accurate predictions. Furthermore, this thesis extends the methodology to multi-group (multi-patch) models, capturing the complexities of heterogeneous population dynamics. This includes factors such as mobility, super-spreader events, and accounting for partial information. By incorporating these elements, the model provides a more comprehensive understanding of epidemic spread across diverse and interconnected populations. To address the curse of dimensionality often encountered in high-dimensional filtering problems, a modified EKF based on a reduced-order EKF is introduced, leveraging a low-rank approximation of the covariance matrix. This reduced-order EKF allows for stable and efficient estimation of hidden states even with limited computational resources. Finally, the work explores parameter estimation within the partial information context, employing both likelihood-based inference and state augmentation techniques. Numerical experiments demonstrate the model's ability to accurately reproduce observed Covid-19 dynamics in Germany, highlighting its potential for informing public health strategies and managing future outbreaks. This work offers a robust and adaptable framework for understanding and predicting the spread of infectious diseases. N2 - Diese Dissertation präsentiert innovative stochastische Modellierungsansätze für den Verlauf von Epidemien, die den Herausforderungen begegnen, die durch nicht direkt beobachtbare Zustände und den schrittweisen Rückgang der Immunität entstehen – wie sie durch die Covid-19-Pandemie offenkundig wurden. Entwickelt wird ein erweitertes Kompartimentmodell, das kaskadenartige Zustände nutzt, um den graduellen Verlust der Immunität nach Impfung oder Genesung präzise abzubilden. Das Modell basiert auf einer inhomogenen kontinuierlichen Markov-Kette und wird durch einen Diffusionsprozess approximiert, was effiziente Berechnungen ermöglicht. Die resultierenden Dynamiken enthalten Nichtlinearitäten in Drift- und Diffusionskoeffizienten, wodurch die Schätzung nicht beobachtbarer Zustände besonders anspruchsvoll wird. Diese Komplexität unterstreicht die Notwendigkeit neuer Techniken, um das Verhalten des Systems bei unvollständiger Beobachtbarkeit adäquat erfassen und vorhersagen zu können. Ein neuer Ansatz mit kaskadenartigen Zuständen adressiert das Problem teilweise unbeobachtbarer Kompartimente, bei denen nur Zu- oder Abflüsse, nicht aber beide gleichzeitig messbar sind. Durch die Nutzung von Informationen aus beobachteten Übergängen wird die Modellgenauigkeit erheblich gesteigert. Zudem eröffnet dieser Ansatz den Einsatz von Methoden der Filtertheorie, insbesondere des erweiterten Kalman-Filters (EKF), um nicht beobachtbare Epidemiezustände (z.B. undokumentierte Infektionen) sowie zeitvariable Modellparameter zu schätzen. Damit wird eine Kalibrierung anhand realer Daten möglich, die robuste und verlässliche Vorhersagen erlaubt. Darüber hinaus wird die Methodik auf Mehrgruppen- (Multi-Patch-) Modelle ausgeweitet, um die Dynamik heterogener Populationen abzubilden. Faktoren wie Mobilität, Super-Spreader-Ereignisse und unvollständig beobachtbare Zustände werden integriert, sodass ein umfassenderes Verständnis der Ausbreitung in unterschiedlichen und vernetzten Bevölkerungsgruppen entsteht. Zur Bewältigung des Fluchs der Dimensionalität, wie er bei hochdimensionalen Filterproblemen auftritt, wird ein modifizierter EKF vorgestellt. Dieser basiert auf einem EKF reduzierter Ordnung, der eine Niedrigrang Approximation der Kovarianzmatrix nutzt. So gelingt eine robuste und effiziente Approximation verborgener Zustände auch unter limitierten Rechenressourcen. Schließlich widmet sich die Arbeit der Parameterschätzung unter unvollständiger Information. Hierbei werden Maximum-Likelihood-Methoden sowie zustandserweiterte Kalman-Filter eingesetzt. Numerische Experimente belegen, dass das Modell die beobachteten Covid-19-Dynamiken in Deutschland präzise erfasst und ein hohes Potenzial zur Unterstützung von Gesundheitsstrategien sowie beim Management künftiger Ausbrüche bietet. Insgesamt stellt die Dissertation robuste und flexible Modelle und Methoden bereit, die wesentlich zum Verständnis und zur Vorhersage der Ausbreitung von Infektionskrankheiten beitragen. KW - Compartmental model KW - Stochastic model KW - Partial information KW - Extended Kalman filter KW - Parameter estimation KW - Kompartimentmodell KW - Stochastisches Modell KW - Teilinformationen KW - Erweiterter Kalman Filter KW - Parameterschätzung KW - Stochastische optimale Kontrolle KW - Kompartimentmodell KW - Kalman-Filter KW - Partielle Information Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71976 ER -