TY - THES A1 - Schütze, Stephan T1 - Ein Nutzenmaximierungsproblem mit unvollständiger Information und Expertenmeinungen in einem Finanzmarkt mit Markov-modulierter Drift T1 - An Utility maximization problem under partial information with expert opinions in a market with Markovian drift N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell mit Markov-modulierter Drift. Die als Drift bezeichnete mittlere Aktienrendite wird dabei durch eine zeitstetige Markovkette modelliert, welche nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Schätzungen, die aus Beobachtungen der Aktienpreise gewonnen werden, besitzen oft nur eine unbefriedigende Genauigkeit, da Drifteffekte in den Aktienpreisen in der Regel von einer hohen Volatilität überlagert werden. Aus diesem Grunde versucht man zusätzliche Informationsquellen wie z.B. Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Empfehlungen von Finanzanalysten, Bewertungen von Ratingagenturen und die eigene intuitive Einschätzung der künftigen Preisentwicklung in die Schätzungen einzubeziehen. Diese als Expertenmeinungen bezeichneten Informationen werden mit den Aktienpreisbeobachtungen kombiniert, um eine verbesserte Driftschätzung und damit eine bessere Performance der darauf aufbauenden optimalen Portfoliostrategien zu erzielen. Dieser Ansatz kann als eine zeitstetige Version des aus der Literatur bekannten statischen Black-Litterman-Modells betrachtet werden. Die mathematische Modellierung der Expertenmeinungen erfolgt mit Hilfe eines markierten Punktprozesses, dessen Sprunghöhenverteilung vom Zustand der nicht beobachtbaren Markovkette abhängt. In der vorliegenden Arbeit wird insbesondere ein Nutzenmaximierungsproblem für den Power-Nutzen betrachtet. Dies führt auf ein stochastisches optimales Steuerungsproblem unter unvollständiger Information, für welches die zugehörige Dynamic Programming Equation (DPE) für die Wertfunktion hergeleitet wird. Aus deren Lösung kann die optimale Anlagestrategie abgeleitet werden. Die DPE ist eine partielle Integro-Differentialgleichung, für deren Lösung verschiedene Näherungsverfahren untersucht werden. Den Schwerpunkt bilden dabei explizite und semi-implizite Differenzenverfahren, bei welchen der Differentialoperator der DPE mit finiten Differenzen und der Integraloperator mit Quadraturformeln diskretisiert wird. Für das explizite Verfahren wird ein Konvergenzbeweis angegeben. Als weitere Näherungsverfahren kommen ein Policy-Improvement-Verfahren und die Monte- Carlo-Methode zum Einsatz. Die genannten Verfahren wurden implementiert und die Arbeit präsentiert Ergebnisse zu den durchgeführten numerischen Experimenten. Im letzten Teil der Arbeit werden schließlich Diffusionsapproximationen für hochfrequente zeitdiskrete Expertenmeinungen betrachtet. Dazu wird insbesondere der Integraloperator der DPE für gegen unendlich strebende Intensität des Eintreffens der Expertenmeinungen untersucht. Die erhaltene Asymptotik erlaubt einerseits die Approximation der zeitdiskreten Experten durch einen als zeitstetigen Experten bezeichneten Diffusionsprozess und ist andererseits die Grundlage für ein weiteres Näherungsverfahren zur Lösung des Nutzenmaximierungsproblemes. N2 - This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a market with Markov-modulated drift. The drift is modelled as a function of a continuous-time Markov chain with initely many states which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Drift estimates based on asset price observations usually suffer from a quite poor accuracy since drift effects are overshadowed by a high volatility. Therefore, practitioners rely also on external sources of information such as news, company reports, ratings and on their own intuitive views when determining drift estimates. These outside sources of information are called expert opinion and combined with asset price observations to improve the drift estimate and the performance of portfolio strategies. That procedure can be seen as a continuous-time version of the classical Black-Litterman approach. The expert opinions are modelled by a marked point process with jump-size distribution depending on the current state of the hidden factor process. We focus on the portfolio selection problem for power utility and study the associated stochastic optimal control problem under partial information for which we derive the corresponding dynamic programming equation (DPE) for the value function. Solving the DPE then allows to compute optimal portfolio strategies. The DPE is a nonlinear partial integro differential equation which we solve by using various numerical methods. The focus is on explicit and semi-implizit difference schemes. Here, the differential operator is discretized by finite differences and the integral operator by quadrature rules. For the explicit case a convergence proof is given. As an alternative we solve the control problem using the policy improvement method and Monte Carlo methods. Numerical results are presented. Finally, we investigate diffusion approximations for high-frequency discrete-time expert opinions. For this purpose we study the limiting behavior of the integral operator in the DPE for increasing arrival intensity of the expert opinions. Based on these asymptotic results the high-frequency discrete-time expert is approximated by a continuous-time expert modelled by a diffusion process. This allows to derive an additional method to solve the utility maximization problem numerically. KW - Portfoliooptimierung KW - Partielle Information KW - Expertenmeinung KW - Diffusionsapproximation KW - Portfolio optimization KW - Diffusion approximation KW - PIDE KW - Expert opinion KW - Partial information KW - Diffusionsapproximation KW - Partielle Information KW - Portfoliomanagement KW - Optimierung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-39660 ER - TY - THES A1 - Takam, Paul Honore T1 - Stochastic optimal control problems of residential heating systems with a geothermal energy storage T1 - Stochastische Optimalsteuerungsprobleme für Gebäudeheizungssysteme mit Erdwärmespeicher N2 - In this thesis we consider a residential heating system equipped with several heat production and consumption units and investigate the stochastic optimal control problem for its cost-optimal management. As a special feature the manager has access to a geothermal storage (GS) which allows for inter-temporal transfer of heat energy by storing leftover solar thermal energy generated in summer for satisfying demand later. It is charged and discharged via heat exchanger pipes filled with a moving fluid. Further, the manager of that system faces uncertainties about the future fuel price and heat demand. The main goal is to minimize the expected aggregated cost for generating heat and running the system. This leads to a challenging mathematical optimization problem. The problem is formulated first as a non-standard continuous-time stochastic optimal control problem for a controlled state process whose dynamics is described by a system of ordinary differential equations (ODEs), stochastic differential equations and a partial differential equation (PDE). The PDE, which describes the temperature distribution in the GS, is first converted into a high-dimensional system of ODEs by semi-discretizing the space variables and its stability is investigated. This makes it possible to compute some aggregated characteristics which are useful for the operation of the GS embedded in the residential heating system. Second, the linear time-varying system of ODEs is approximated by a suitable linear time-invariant system. This allows the Lyapunov balanced truncation model order reduction method to be applied. Finally, we investigate the solution of the resulting standard optimal control problem for a controlled multi-dimensional diffusion process using dynamic programming methods and derive the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. However, no analytical solution of the HJB equation can be expected for the control problem under investigation. Therefore, we transform the continuous-time optimal control problem into a discrete-time control problem for a controlled Markov chain with finitely many states by discretizing both the time and the states. After determining the transition probabilities, the problem is solved using methods from the theory of Markovian decision processes. The thesis presents results of extensive numerical experiments carried out with the developed methods which reveal typical properties of the value function and the optimal strategy of the optimization problem. We end this thesis by describing some alternative methods to overcome the curse of dimensionality. N2 - In dieser Arbeit betrachten wir ein mit mehreren Wärmeerzeugungs- und –verbrauchseinheiten ausgestattetes Gebäudeheizungssystem und untersuchen ein stochastisches Optimalsteuerungsproblem für dessen kostenoptimale Bewirtschaftung. Als Besonderheit steht dem Manager des Heizungssystems ein Erdwärmespeicher (GS) zur Verfügung, der eine zeitliche Übertragung von Wärmeenergie ermöglicht, indem die Überproduktion von Solarwärme z.B. im Sommer für die spätere Deckung des Wärmebedarfs gespeichert wird. Die Be- und Entladung erfolgt über Wärmetauscherrohre, in denen eine Flüssigkeit zirkuliert. Der Manager dieses Systems muss seine Entscheidungen unter Unsicherheiten über die Brennstoffpreise und den zu deckenden Wärmebedarf in der Zukunft treffen. Das Hauptziel ist es, die zu erwartenden Gesamtkosten für die Wärmeerzeugung und den Betrieb des Systems zu minimieren. Dies führt zu einem anspruchsvollen mathematischen Optimierungsproblem. Das problem wird zunächst als ein zeitstetiges stochastisches Optimalsteuerungsproblem in Nichtstandardform formuliert, bei dem die Dynamik des gesteuerten Zustandsprozesses durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs), stochastischer Differentialgleichungen und einer partiellen Differentialgleichung (PDE) gegeben ist. Die PDE, welche die Temperaturverteilung im GS beschreibt, durch Semidiskretisierung der Raumvariablen in ein hochdimensionales System von ODEs überführt und es wird dessen Stabilität gezeigt. Damit gelingt es, wichtige Kenngrößen für den Betrieb des Erdwärmespeichers innerhalb eines Heizungssystems zu berechnen. Dabei wird zunächst das lineare zeitvariable System von ODEs durch ein geeignetes lineares zeitinvariantes System approximiert. Dies erlaubt es dann die Lyapunov-Balanced-Truncation-Methode für die Modellreduktion einzusetzen. Schließlich untersuchen wir die Lösung des resultierenden Standard-Optimalsteuerungsproblems für einen gesteuerten mehrdimensionalen Diffusionsprozess unter Verwendung von Methoden des Dynamic Programming und leiten die zugehörige Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB) her. Für das untersuchte Steuerungsproblem kann jedoch keine analytische Lösung der HJB-Gleichung erwartet werden. Daher überführen wir das zeitstetige Optimalsteuerungsproblem durch Diskretisierung sowohl der Zeit als auch der Zustände in ein zeitdiskretes Kontrollproblem für eine gesteuerte Markovkette mit endlich vielen Zuständen. Nach der Bestimmung der Übergangswahrscheinlichkeiten wird das Problem mit Methoden der Theorie der Markovschen Entscheidungsprozesse gelöst. Die Arbeit präsentiert Ergebnisse umfangreicher numerischer Experimente, die mit den entwickelten Methoden durchgeführt wurden und typische Eigenschaften der Wertfunktion und der optimalen Steuerung des Optimalsteuerungsproblems sichtbar machen. Die Arbeit schließt mit der Beschreibung einiger alternativer Methoden zur Lösung der Kontrollprobleme, mit denen der Fluch der Dimension überwunden werden kann. KW - Markov-Entscheidungsprozesse KW - Erdwärmespeicher KW - Numerische Simulation KW - Modellreduktion KW - Lyapunov-Balanced-Truncation KW - Markov decision process KW - Geothermal energy storage KW - Numerical simulation KW - Model order reduction KW - Lyapunov balanced truncation KW - Erdwärmespeicher KW - Heizung KW - Markov-Entscheidungsprozess KW - Ordnungsreduktion Y1 - 2023 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-64502 ER - TY - THES A1 - Shardin, Anton T1 - Stochastische optimale Steuerungsprobleme mit partieller Information für einen Energiespeicher T1 - Partially observable stochastic optimal control problems for an energy storage N2 - In dieser Arbeit werden stochastische Optimalsteuerungsprobleme unter partieller Information untersucht, welche im Zusammenhang mit der optimalen Bewirtschaftung eines Energiespeichers entstehen. Dabei werden sowohl der Fall eines endlichen als auch unendlichen Zeithorizontes betrachtet. Für die Beschreibung des Energiepreises wird ein Regime-Switching-Modell eingesetzt, in dem die sich ändernden ökonomischen Rahmenbedingungen durch eine nicht beobachtbare Markov-Kette beschrieben werden. Das entstehende stochastische Optimalsteuerungsproblem unter partieller Information wird durch Anwendung von Filtertechniken in ein Problem unter voller Information überführt. Anschließend wird die dem neuen Problem zugeordnete Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB-Gleichung) aufgestellt und untersucht. Diese HJB-Gleichung ist degeneriert, da der Diffusionsteil des Differentialoperators nicht gleichmäßig elliptisch ist. Damit ist es nicht möglich, klassische Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für die Lösung der HJB-Gleichung und entsprechende Verifikationssätze für das Optimalsteuerungsproblem anzuwenden. Deshalb wird in der Dissertation eine Regularisierungstechnik eingesetzt, welche die gleichmäßige Elliptizität des Differentialoperators herstellt. Es wird der Beweis geführt, dass die Wertfunktion für das regularisierte Kontrollproblem gegen die für das Ausgangsproblem konvergiert, wenn der bei der Regularisierung eingesetzte Störterm gegen null geht. Schließlich wird gezeigt, dass die optimalen Steuerungen für das regularisierte Problem näherungsweise optimal für das Ausgangsproblem sind. Für die optimalen Steuerungen wird eine geschlossene Darstellung in Form einer Markovschen Entscheidungsregel in Abhängigkeit von der Wertfunktion angegeben. Für das untersuchte Steuerungsproblem ist nicht zu erwarten, eine analytische Lösung der HJB-Gleichung zu erhalten. Daher werden in der Arbeit auf Differenzenverfahren aufbauende numerische Methoden zum Lösen der HJB-Gleichung behandelt. Für das Steuerungsproblem mit endlichem Zeithorizont werden insbesondere ein Semi-Lagrangesches und ein explizit- implizites Approximationsschema entwickelt und deren Eigenschaften untersucht. Für das Problem mit unendlichem Zeithorizont wird das Steuerungsproblem mit dem Policy-Improvement-Verfahren iterativ gelöst. Die Arbeit präsentiert eine Vielzahl von Ergebnissen numerischer Experimente, welche mit den entwickelten Verfahren durchgeführt wurden. Diese zeigen typische Eigenschaften der Wertfunktion und der optimalen Steuerung. Der Vergleich der Ergebnisse für unterschiedliche Regularisierungsparameter mit denen für das unregularisierte Problem bestätigt die erhaltenen theoretischen Konvergenzaussagen. Schließlich wird die Sensitivität der Wertfunktion und der optimalen Steuerung hinsichtlich der Variation der Modellparameter untersucht. N2 - In this thesis stochastic optimal control problems under partial information, which occur in the context of optimal management of an energy storage facility are studied. Thereby the case of a finite as well as an infinite time horizon are considered. For the description of the energy price a regime switching model is applied, where the changing economic framework is described by a non-observable Markov chain. The resulting stochastic optimal control problem under partial information is transformed into a problem under full information by the application of filtering techniques. Subsequently the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB equation) associated to the new problem is derived and studied. This HJB equation is degenerate since the diffusion part of the differential operator is not uniformly elliptic. Hence it is not possible to apply classical existence and uniqueness results and corresponding verification theorems for the optimal control problem to the solution of the HJB equation. Therefore, in this dissertation a regularisation technique is used, which makes the differential operator uniformly elliptic. It is proven that the value function for the regularised control problem converges to the one of the original problem as the error term used for the regularisation goes to zero. Finally it is shown that the optimal controls for the regularised problem are approximately optimal for the original problem. For the optimal controls a closed form description in the form of a Markov decision rule in dependence of the value function is derived. For the studied control problem it is not expected to obtain an analytical solution of the HJB equation. Therefore, in this thesis numerical methods for solving the HJB equation, which build on difference methods, are treated. For the control problem with finite time horizon particularly a semi-Lagrangian and an explicit-implicit approximation scheme are developed and their properties are studied. For the problem with infinite time horizon the control problem is solved iteratively with the policy improvement method. The thesis presents a multitude of results of numerical experiments, which were conducted with the developed methods. These show typical properties of the value function and the optimal control. The comparison of the results with different regularisation parameters to the ones of the non-regularised problem confirms the obtained theoretical convergence statements. Finally, the sensitivity of the value function and the optimal control with respect to the variation of the model parameters is studied. KW - Stochastische optimale Steuerung KW - HJB-Gleichung KW - Filter KW - Hidden-Markov-Modell KW - Regularisierung KW - Finite-Differenzen-Verfahren KW - Dynamic programming KW - Stochastic optimal control KW - HJB equation KW - Filtering KW - Hidden Markov model KW - Finite-difference methods KW - Regularization KW - Stochastische optimale kontrolle KW - Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung KW - Hidden-Markov-Modell KW - Finite-Differenzen-Methode Y1 - 2017 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-42490 ER - TY - THES A1 - Mugler, Antje T1 - Verallgemeinertes polynomielles Chaos zur Lösung stationärer Diffusionsprobleme mit zufälligen Koeffizienten T1 - Solving stationary diffusion problems with random coefficients by generalized polynomial chaos N2 - Zufällige partielle Differentialgleichungen werden genutzt, um komplexe Systeme in Natur, Physik oder Technik realitätsnäher zu modellieren. In dieser Arbeit wird speziell das stationäre Diffusionsproblem mit zufälligem Koeffizient als lehrreiches Modellproblem betrachtet und mittels der stochastischen Galerkin-Methode unter Verwendung des verallgemeinerten polynomiellen Chaos näherungsweise gelöst. Im Gegensatz zu den üblichen Annahmen, dass der Koeffizient sich durch Konstanten von Null und Unendlich fast sicher trennen lässt oder ein lognormales Zufallsfeld darstellt, wird in der vorliegenden Arbeit für den Koeffizienten nur vorausgesetzt, dass er sich fast sicher durch reellwertige Zufallsgrößen von Null und Unendlich trennen lässt. Unter dieser Voraussetzung werden sowohl eine entsprechende Lösungstheorie für solche Randwertprobleme entwickelt als auch ein geeigneter stochastischer Galerkin-Ansatz zur näherungsweisen Lösung vorgestellt. Dieser stochastische Galerkin-Ansatz basiert auf der Verwendung von verallgemeinertem polynomiellen Chaos und entspricht einem stochastischen Petrov-Galerkin-Ansatz aufgrund der Gewichtung der Testfunktionen durch eine entsprechende reellwertige Zufallsgröße. Die Eigenschaften des verallgemeinerten polynomiellen Chaos werden genutzt, um das Konvergenzverhalten der Folge dieser stochastischen Galerkin-Lösungen in der natürlichen Norm zu untersuchen und A-priori-Fehlerabschätzungen anzugeben. Es wird außerdem gezeigt, dass der standardmäßige stochastische Galerkin-Ansatz in diesem Fall nicht notwendigerweise eine Folge von stochastischen Galerkin-Lösungen liefert, die in der natürlichen Norm gegen die exakte Lösung konvergiert. N2 - Random partial differential equations are used to quantify uncertainty in complex systems like for example subsurface flows in porous media. In this thesis the stationary diffusion problem with random coefficient serves as illustrative model problem and is approximately solved by the stochastic Galerkin method based on generalized polynomial chaos. In the current treatment of such problems by stochastic Galerkin methods it is standard to assume that the random diffusion coefficient is bounded by positive deterministic constants or modeled as lognormal random field. In contrast, we make the significantly weaker assumption that the non-negative random coefficients can be bounded strictly away from zero and infinity by random variables only and may have distributions different from a lognormal one. We establish a solution theory for such problems and present a suitable stochastic Galerkin method for the numerical solution by using weighted test function spaces. Therefore this stochastic Galerkin method is a stochastic Petrov-Galerkin method. We investigate the convergence behaviour of the sequence of these stochastic Petrov-Galerkin solutions to the weak solution in the natural norm and give also a priori error estimates using the properties of generalized polynomial chaos. Additionally, we show that the standard stochastic Galerkin approach does not necessarily produce a sequence of approximate solutions that converges in the natural norm to the weak solution even in the case of a lognormal coefficient. KW - Diffusionsgleichung KW - Spektralmethode KW - Polynomielles Chaos KW - Verallgemeinertes polynomielles Chaos KW - Differentialgleichungen mit zufälligen Parametern KW - Stochastische Galerkin-Methode KW - Polynomial chaos KW - Generalized polynomial chaos KW - Differential equations with random parameters KW - Stochastic Galerkin method Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-28209 ER - TY - THES A1 - Kondakji, Hakam T1 - Optimale Portfolios für partiell informierte Investoren in einem Finanzmarkt mit Gaußscher Drift und Expertenmeinungen T1 - Optimal portfolios for partially informed investors in a financial market with gaussian drift and expert opinions N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell, bei dem die Drift durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess modelliert wird, welcher nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Da die optimalen Handelsstrategien sehr sensibel auf die Driftparameter reagieren, benötigen Investoren möglichst genaue Driftschätzungen auf der Basis der ihnen zur Verfügung stehenden Informationen. Die Konstruktion solcher Schätzungen allein aus der Kenntnis von historischen Marktdaten liefert allerdings in der Praxis nur unbefriedigende Ergebnisse, da Drifteffekte in den Daten durch eine starke Volatilität überlagert werden. Aus diesen Gründen beziehen Investoren für die Bestimmung ihrer Anlagestrategien auch andere externe Informationsquellen ein, um die Einschätzung der unbekannten Drifts zu verbessern. Dabei handelt es sich z.B. um Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Ratings, Empfehlungen von Finanzanalysten oder die eigene individuelle Sicht auf die zukünftige Preisentwicklung. Solche externen Informationen werden in der Literatur Expertenmeinungen genannt. Die Arbeit klassifiziert die Experten in drei Kategorien: Expertenmeinungen zu vorab bekannten Zeitpunkten, zu zufälligen Zeitpunkten und in stetiger Zeit. Für Vergleichszwecke betrachten wir weiterhin das Modell ohne Expertenmeinungen und ein Modell mit vollständig beobachtbarer Drift. Darauf aufbauend behandeln wir dynamische Nutzenmaximierungsprobleme für den Potenz-Nutzen. Diese überführen wir unter Verwendung von Filter- und Maßwechseltechniken in risikosensitive stochastische optimale Steuerungsprobleme. Bei den Modellen ohne Expertenmeinungen bzw. mit einem zeitstetigen Experten ist der gesteuerte Zustand ein Diffusionsprozess und es gelingt, geschlossene Lösungen für die Kontrollprobleme anzugeben. Für das Modell mit Expertenmeinungen zu bekannten Zeitpunkten erfolgt die Lösung des Optimierungsproblems durch eine Rückwärtsrekursion. Im Modell mit Expertenmeinungen zu zufälligen Zeitpunkten ist die zugehörige DPE eine partielle Integro-Differentialgleichung (PIDE), welche im Diffusionsteil des Differentialoperators degeneriert ist. Dies verhindert die Anwendung klassischer Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für die Lösung der PIDE und von entsprechenden Verifikationssätzen für das Kontrollproblem. Mit Hilfe einer Regularisierungstechnik definieren wir durch die Hinzufügung eines Diffusionstermes eine Familie von Kontrollproblemen und zeigen, dass die zugehörigen Wertfunktionen gegen die Wertfunktion des ursprünglichen Kontrollproblems konvergiert, wenn der Diffusionsterm gegen Null geht. Da eine analytische Lösung der PIDE nicht zu erwarten ist, kommen in der Arbeit numerische Lösungsverfahren zum Einsatz. Diese diskretisieren die PIDE mit Hilfe von Differenzenschemata und numerischen Integrationsmethoden. Die theoretischen Resultate der Arbeit werden durch Ergebnisse umfangreicher numerischer Experimente illustriert. N2 - This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a continuous-time financial market. The drift is modelled by an Ornstein-Uhlenbeck process, which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Because optimal strategies are very sensitive to the drift parameters, investors need accurate drift estimates based on the information available to them. However, the construction of such estimates solely from past market data yields unsatisfactory results in practice since drift effects are overshadowed by a high volatility. For those reasons, when determining their investment strategy, investors also include external sources of information to obtain a better estimate of the drift. Among those sources are: business news, corporate reports, credit ratings, recommendations from financial analysts and their personal view of future price developments. Such external information is called expert opinion in the literature. This thesis classifies the experts into three categories: expert opinions at previously known times, at random times and in continuous time. For the purpose of comparison we also examine the model without expert opinions as well as a model with fully observable drift. Building up on this we consider dynamic utility maximization problems for power utility. They are transformed into risk-sensitive stochastic optimal control problems using filters and changes of measure techniques. For the models without expert opinions and the one with continuous time expert opinions, the controlled state is a diffusion process and closed-form solutions to the control problems can be found. For the model with expert opinions at known times, the optimization problem is solved by a backward recursion. In the model with expert opinions arriving at random times, the state process is a jump-diffusion process and the associated dynamic programming equation is a partial integro-differential equation (PIDE) that is degenerated in the diffusion part of the differential operator. This precludes the application of classical existence and uniqueness results for the solution of the PIDE as well as corresponding verification theorems for the control problem. Using a regularization technique employing an additional diffusion term we construct a family of control problems and show that the associated value functions converge to the value function of the original control problem as the error term used for the regularisation goes to zero. Since an analytical solution to the PIDE cannot be expected, we use numerical solution methods. They discretize the PIDE using difference schemes and numerical integration methods. The theoretical results of the work are illustrated by results of extensive numerical experiments. KW - Filter KW - Expertenmeinungen KW - Finite-Differenzen-Verfahren KW - HJB-Gleichung KW - Gaußsches-Modell KW - Regularisierung KW - Stochastische optimale Steuerung KW - Nirvana KW - Dynamic programming KW - Filtering KW - Expert opinions KW - Finite-difference methods KW - HJB equation KW - Gassian model KW - Regularization KW - Stochastic optimal control KW - Nirvana KW - Portfoliomanagement KW - Ornstein-Uhlenbeck-Prozess KW - Nutzenmaximierung KW - Experte KW - Integrodifferentialgleichung Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-47364 ER - TY - THES A1 - Redeker, Imke T1 - Stochastic models in financial risk management T1 - Stochastische Modelle zum Management von Finanzrisiken N2 - This thesis is concerned with stochastic models to manage financial risks. The first part deals with market risk and considers an investor facing a classical portfolio problem of optimal investment in log-Brownian stocks and a fixed-interest bond, but constrained to choose portfolio and consumption strategies which reduce the corresponding shortfall risk. Risk limits are formulated in terms of Value at Risk, Tail Conditional Expectation and Expected Loss and are dynamically imposed on the strategy as a risk constraint. The resulting stochastic optimal control problem is tackled using the dynamic programming approach. For both continuous-time and discrete-time financial markets the loss in expected utility of intermediate consumption and terminal wealth caused by imposing a dynamic risk constraint is investigated. The presented numerical results indicate that the loss of portfolio performance is not too large while the risk is notably reduced. Furthermore, the loss resulting from infrequent trading due to time discretization effects is typically bigger than the loss of portfolio performance resulting from imposing a risk constraint. The second part deals with credit risk and sets up a first-passage model of corporate default risk. The default event is specified in terms of the evolution of the total value of the firm's asset and the default barrier. Short-term default risk is incorporated by modeling the default barrier at which the firm is liquidated as a random variable which is time-dependent and allowed to switch. This setup combines the two classical modeling approaches and enables to model changes in the economy or the appointment of a new firm management. Different information levels on the firm's assets are distinguished and explicit formulas for the conditional default probability given the accessible information are derived. The impact of asymmetric information on the default probability and credit yield spread is investigated. Numerical results are presented indicating that the information on the firm value has a considerable impact on the estimate of the conditional survival probability and the associated credit yield spread. N2 - In dieser Arbeit werden stochastische Modelle zur Betrachtung von Markt- und Kreditrisiken untersucht. Der erste Teil befasst sich mit dem Marktrisiko und untersucht optimale Investitions- und Konsumstrategien für einen Investor am Finanzmarkt, der angehalten ist, seine (Anlage-) Strategie so zu wählen, dass das Risiko für den Verlust eines Teils seines investierten Kapitals beschränkt bleibt. Die Beschränkung des Verlustrisikos erfolgt mittels dynamischer Risikomaße, die zu jedem Zeitpunkt das Risiko unter Berücksichtigung der bis zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Information quantitativ erfassen. Dabei werden die dynamischen Risikomaße Value at Risk, Tail Conditional Expectation und Expected Loss verwendet. Die entstehenden Portfolio-Probleme unter dynamischen Risikonebenbedingungen werden sowohl in stetiger als auch in diskreter Zeit betrachtet. Zur Lösung der Portfolio-Probleme werden diese als stochastische Kontrollprobleme formuliert und mit Methoden des Dynamic Programming gelöst. Der Verlust der Portfolio-Performance infolge der Beschränkung des Risikos sowie der Verlust durch die Beschränkung auf zeitdiskrete Investmentstrategien werden untersucht und eine Vielzahl von numerischen Experimenten wird präsentiert. Diese zeigen, dass der Verlust der Portfolio-Performance nicht erheblich ist, während das Risiko deutlich beschränkt wird. Darüber hinaus ist der Verlust, der durch die Beschränkung auf zeitdiskrete Investmentstrategien entsteht, typischerweise größer als der Verlust der Portfolio-Performance durch eine Risikobeschränkung. Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit dem Kreditrisiko. Zur Modellierung des Risikos, dass ein Kreditnehmer seinen vertragskonformen Zahlungsverpflichtungen nicht oder nur teilweise nachkommt, wird ein Modell untersucht, das die beiden klassischen Ansätze zur Modellierung des Kreditrisikos kombiniert. In diesem Modell erfolgt der Kreditausfall eines Unternehmens bei Unterschreitung eines Schwellenwertes durch das Unternehmensvermögen. Der Schwellenwert wird dabei als zeitabhängige Zufallsvariable modelliert, die es erlaubt, Veränderungen in der Wirtschaft oder die Ernennung einer neuen Unternehmensleitung abzubilden. Es werden in Abhängigkeit von der verfügbaren Information über das Unternehmensvermögen explizite Formeln für die Ausfallwahrscheinlichkeit hergeleitet. Der Einfluss asymmetrischer Informationen auf die Ausfallwahrscheinlichkeit und die (Ausfall-) Risikoprämie wird untersucht. Numerische Ergebnisse werden präsentiert, welche zeigen, dass die Informationen über den Unternehmenswert einen erheblichen Einfluss auf die Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit und der damit einhergehenden Risikoprämie haben. KW - Market risk KW - Portfolio Optimization KW - Dynamic risk measure KW - Credit risk KW - Switching default threshold KW - Marktrisiko KW - Portfolio Optimierung KW - Dynamische Risikomaße KW - Kreditrisiko KW - Springende Ausfallschranke KW - Kreditrisiko KW - Marktrisiko KW - Optimierung KW - Stochastischer Prozess Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-48018 ER - TY - THES A1 - Yamshchikov, Ivan P. T1 - Optimization problem of portfolios with an illiquid asset T1 - Ein Optimierungsproblem für Portfolios mit einer illiquiden Position N2 - This work is devoted to the problem of liquidity that draws a lot of attention after the global financial crisis. We consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a riskless liquid asset. We work in Merton’s optimal consumption framework with continuous time. The liquid part of the investment is described by a standard Black-Scholes market. The illiquid asset is sold at an exogenous random moment with prescribed distribution and generates additional liquid wealth dependent on its paper value. We show that one can consider a problem with infinite time horizon and special weight function that is characterized by the probability distribution of the liquidation time instead of a problem with an exogenous random liquidation time. Using the viscosity solution techniques, developed for the problem of optimization in presence of a random income, we prove the existence and uniqueness of the solution for the considered problem with logarithmic utility and modest restrictions on the liquidation time distribution. We find asymptotic bounds for the value function when liquidation time has exponential or Weibull distribution. We find optimal policies in a feedback form and illustrate how they differ from classical Merton’s policies. Through a Lie group analysis we find the admitted Lie algebra for a problem with general liquidation time distribution in cases of HARA and log utility functions and formulate corresponding theorems for all these cases. Using these Lie algebras we obtain reduced equations of the lower dimension for the studied three dimensional partial differential equations. Several of similar substitutions were used in other works before, whereas others are new to our knowledge. The applied method of Lie group analysis gives us the possibility to provide a complete set of non-equivalent substitutions and reduced equations that was not provided for the problem of such type so far. Further research of these equations with numerical and quantitative methods is expected to benefit from such analysis. N2 - Diese Arbeit ist dem in der globalen Finanzkrise hochaktuellen Problem der Liquidität gewidmet. Wir betrachten ein Optimierungsproblem für ein Portfolio mit einer illiquiden, und einer liquiden risikoreichen und risikolosen Position. Wir arbeiten im Rahmen des Mertonschen optimalen Verbrauchsproblems mit stetiger Zeit. Der liquide Anteil der Investitionen wird mit dem klassischen Black-Scholes Marktmodell beschrieben. Die illiquide Position wird an einem exogenen zufälligen Zeitpunkt mit einer vorgeschriebenen Verteilung verkauft und erzeugt ein zusätzliches liquides Vermögen welches von seinem Bilanzierungswert abhängig ist. Wir zeigen, dass man ein Problem mit einem unendlichen Zeithorizont und einer speziellen Gewichtsfunktion, die durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Liquidationszeit T bestimmt wird, anstelle des Problems mit einer exogenen zufälligen Liquidationszeit betrachten kann. Unter Ausnutzung der Methode der viskosen Lösungen, die für Optimierungsprobleme in Anwesenheit von zufälligen Einkünften entwickelt wurde, beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für das betrachtete Problem mit der logarithmischen Nutzenfunktion und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Liquidationszeit unter minimalen Beschränkungen. Wir finden asymptotische Schranken für die Wertfunktion wenn die Liquidationszeit eine exponentielle oder eine Weibull - Verteilung hat. Wir finden optimale Strategien in der Feedback-Form und zeigen wie sich diese von klassischen Mertonschen Strategien unterscheiden. Mit Hilfe von Lie Gruppenanalyse finden wir alle Lie Algebren für ein Problem mit einer allgemeinen Liquidationszeitverteilung in Fällen von HARA und logarithmischen Nutzenfunktionen und formulieren entsprechende Theoreme für alle diese Fälle. Wir benutzen diese Lie Algebren um die untersuchten dreidimensionalen partiellen Differentialgleichungen auf Gleichungen niedrigerer Dimensionen zu reduzieren. Mehrere ähnliche Substitutionen wurden bereits früher in anderen Arbeiten benutzt, andere sind unserem Wissen nach neu. Der benutzte Methode der Lie Gruppenanalyse gibt uns die Möglichkeit, einen kompletten Satz von nicht äquivalenten Substitutionen und die entsprechenden reduzierten Gleichungen zu finden was für Probleme von diesem Typ bisher nicht möglich war. Es ist zu erwarten, dass weitere Untersuchungen dieser Gleichungen mit numerischen und qualitativen Methoden davon profitieren können. KW - Illiquididty KW - Portfolio optimization KW - Lie symmetries KW - Optimierung KW - Finanzliquidität KW - Zufällige Liquidationszeit KW - Finanzwirtschaft KW - Liquidität KW - Optimierung Y1 - 2016 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-39922 ER -