TY - THES A1 - Mbouandi Njiasse, Ibrahim T1 - Stochastic models and optimal control of epidemics under partial information T1 - Stochastische Modelle und optimale Steuerung von Epidemien unter unvollständiger Information N2 - In this thesis, we develop a mathematical framework to estimate the compartment sizes of an epidemic model with some unobserved compartments (i.e., a model with partial information) and formulate a social planner's stochastic optimal control problem for such an epidemic. Including asymptomatic and unreported infectious individuals in the model allows a more realistic description of the course of an epidemic and avoids misleading estimation. In order to estimate the unobservable states, a suitable description of the dynamics of the epidemic progression by a diffusion approximation is achieved using counting processes. The estimation of the unobservable states is attributed to a stochastic filter problem. To solve this problem, we use the extended Kalman filter, which provides approximate solutions for such non-standard filter problems. This approach is applied to the state estimation of a model with incomplete information for a disease with lifelong immunity after recovery or vaccination. Simulations are carried out to demonstrate the effectiveness of this approach in practice. The main part of this work addresses a social planner's stochastic optimal control problem for an epidemic model with a partially observed state process. It decomposes the population into susceptible, detected and non-detected infected, detected and non-detected recovered, and hospitalized individuals. Control measures include social distancing, testing, and vaccination. We apply a filtering argument to transform the partially observable stochastic optimal control problem into a completely observable control problem by replacing the hidden state process with the associated Kalman filter processes. This transformed problem with an eight-dimensional state process is treated as a Markov decision process after a time discretization. The associated Bellman equation is solved numerically using a backward recursion algorithm combined with state discretization and quantization techniques to mitigate the curse of dimensionality. In particular, two approaches are implemented. The first involves state discretization and linear interpolation of the value function between grid points, while the second utilizes state discretization and parameterization of the value function with educated ansatz functions. Extensive numerical experiments are presented to demonstrate the effectiveness of both approximate optimal controls in containing the epidemic. Finally, we generalize the results of Picard (1991) on the efficiency of the continuous-time extended Kalman filter with small noise scaled by a parameter ε>0. First, we show that when the observation drift coefficient is strongly injective and the signal and observation drift become linear for ε → 0, the estimation error is of order √ε. Subsequently, we establish conditions under which the error in the initial filter estimate decays exponentially fast. N2 - Diese Arbeit behandelt mathematische Methoden zur Schätzung der Kompartimentgrößen eines Epidemiemodells mit nicht beobachtbaren Kompartimenten (d.h. ein Modell mit unvollständiger Information) und formuliert ein stochastisches Optimierungsproblem für einen gesellschaftlichen Entscheidungsträger. Die Einbeziehung asymptomatischer und nicht gemeldeter Infektionen ermöglicht eine realistischere Beschreibung des Epidemieverlaufs und vermeidet fehlerhafte Schätzungen. Die zur Beschreibung des Epidemieverlaufs verwendeten Zählprozesse werden zunächst durch Diffusionsprozesse approximiert. Die Schätzung der nicht beobachtbaren Zustände führt auf ein stochastisches Filterproblem in Nicht-Standard Form. Zur näherungsweisen Lösung wird der erweiterte Kalman-Filter verwendet. Dieser Ansatz wird auf die Zustandsschätzung eines Modells mit unvollständiger Information für eine Krankheit mit lebenslanger Immunität nach Genesung oder Impfung angewendet. Die durchgeführten Simulationen demonstrieren die Wirksamkeit dieses Ansatzes in der Praxis. Der Hauptteil dieser Arbeit behandelt ein stochastisches optimales Kontrollproblem eines Entscheidungsträgers für ein Epidemiemodell mit einem unvollständig beobachtbaren Zustandsprozess. Es unterteilt die Bevölkerung in anfällige, erkannte und nicht erkannte infizierte, erkannte und nicht erkannte genesene sowie hospitalisierte Personen. Zu den Kontrollmaßnahmen gehören Social Distancing, Tests und Impfungen. Das unvollständig beobachtbare stochastische optimale Kontrollproblem in ein vollständig beobachtbares Problem umgewandelt, indem der verborgene Zustandsprozess durch die zugehörigen Kalman-Filterprozesse ersetzt wird. Dieses transformierte Problem mit einem achtdimensionalen Zustandsprozess wird nach Zeitdiskretisierung als Markovscher Entscheidungsprozess behandelt. Die zugehörige Bellman-Gleichung wird numerisch unter Verwendung einer Rückwärtsrekursion in Kombination mit Zustandsdiskretisierungs- und Quantisierungstechniken gelöst, um den Fluch dem Dimensionalität zu begegnen. Es werden zwei Ansätze implementiert. Der erste umfasst die Zustandsdiskretisierung und lineare Interpolation der Wertfunktion zwischen Gitterpunkten, während der zweite die Zustandsdiskretisierung und Parametrisierung der Wertfunktion mit geeignet gewählten Ansatzfunktionen nutzt. Ergebnisse umfangreicher numerische Experimente zeigen die Wirksamkeit beider approximativer optimaler Kontrollen bei der Eindämmung der Epidemie. Schließlich verallgemeinern wir die Ergebnisse von Picard (1991) zur Effizienz des zeitstetigen erweiterten Kalman-Filters mit schwachem Rauschen, skaliert durch einen Parameter ε>0. Wir zeigen, dass, wenn der Driftkoeffizient der Beobachtungen stark injektiv ist und die Signal- und Beobachtungsdrift für ε → 0 linear werden, der Schätzfehler von der Größenordnung √ε ist. Weiterhin finden wir Bedingungen, unter denen der Fehler in der anfänglichen Filterschätzung exponentiell schnell abklingt. KW - Compartmental model KW - Partial information KW - Extended Kalman filter KW - Stochastic optimal control KW - Dynamic programming KW - Kompartimentmodell KW - Teilinformationen KW - Erweiterter Kalman-Filter KW - Stochastische optimale Steuerung KW - Dynamische Programmierung KW - Dynamische Optimierung KW - Kompartimentmodell KW - Kalman-Filter KW - Stochastische optimale Kontrolle Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71272 ER - TY - THES A1 - Schütze, Stephan T1 - Ein Nutzenmaximierungsproblem mit unvollständiger Information und Expertenmeinungen in einem Finanzmarkt mit Markov-modulierter Drift T1 - An Utility maximization problem under partial information with expert opinions in a market with Markovian drift N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell mit Markov-modulierter Drift. Die als Drift bezeichnete mittlere Aktienrendite wird dabei durch eine zeitstetige Markovkette modelliert, welche nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Schätzungen, die aus Beobachtungen der Aktienpreise gewonnen werden, besitzen oft nur eine unbefriedigende Genauigkeit, da Drifteffekte in den Aktienpreisen in der Regel von einer hohen Volatilität überlagert werden. Aus diesem Grunde versucht man zusätzliche Informationsquellen wie z.B. Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Empfehlungen von Finanzanalysten, Bewertungen von Ratingagenturen und die eigene intuitive Einschätzung der künftigen Preisentwicklung in die Schätzungen einzubeziehen. Diese als Expertenmeinungen bezeichneten Informationen werden mit den Aktienpreisbeobachtungen kombiniert, um eine verbesserte Driftschätzung und damit eine bessere Performance der darauf aufbauenden optimalen Portfoliostrategien zu erzielen. Dieser Ansatz kann als eine zeitstetige Version des aus der Literatur bekannten statischen Black-Litterman-Modells betrachtet werden. Die mathematische Modellierung der Expertenmeinungen erfolgt mit Hilfe eines markierten Punktprozesses, dessen Sprunghöhenverteilung vom Zustand der nicht beobachtbaren Markovkette abhängt. In der vorliegenden Arbeit wird insbesondere ein Nutzenmaximierungsproblem für den Power-Nutzen betrachtet. Dies führt auf ein stochastisches optimales Steuerungsproblem unter unvollständiger Information, für welches die zugehörige Dynamic Programming Equation (DPE) für die Wertfunktion hergeleitet wird. Aus deren Lösung kann die optimale Anlagestrategie abgeleitet werden. Die DPE ist eine partielle Integro-Differentialgleichung, für deren Lösung verschiedene Näherungsverfahren untersucht werden. Den Schwerpunkt bilden dabei explizite und semi-implizite Differenzenverfahren, bei welchen der Differentialoperator der DPE mit finiten Differenzen und der Integraloperator mit Quadraturformeln diskretisiert wird. Für das explizite Verfahren wird ein Konvergenzbeweis angegeben. Als weitere Näherungsverfahren kommen ein Policy-Improvement-Verfahren und die Monte- Carlo-Methode zum Einsatz. Die genannten Verfahren wurden implementiert und die Arbeit präsentiert Ergebnisse zu den durchgeführten numerischen Experimenten. Im letzten Teil der Arbeit werden schließlich Diffusionsapproximationen für hochfrequente zeitdiskrete Expertenmeinungen betrachtet. Dazu wird insbesondere der Integraloperator der DPE für gegen unendlich strebende Intensität des Eintreffens der Expertenmeinungen untersucht. Die erhaltene Asymptotik erlaubt einerseits die Approximation der zeitdiskreten Experten durch einen als zeitstetigen Experten bezeichneten Diffusionsprozess und ist andererseits die Grundlage für ein weiteres Näherungsverfahren zur Lösung des Nutzenmaximierungsproblemes. N2 - This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a market with Markov-modulated drift. The drift is modelled as a function of a continuous-time Markov chain with initely many states which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Drift estimates based on asset price observations usually suffer from a quite poor accuracy since drift effects are overshadowed by a high volatility. Therefore, practitioners rely also on external sources of information such as news, company reports, ratings and on their own intuitive views when determining drift estimates. These outside sources of information are called expert opinion and combined with asset price observations to improve the drift estimate and the performance of portfolio strategies. That procedure can be seen as a continuous-time version of the classical Black-Litterman approach. The expert opinions are modelled by a marked point process with jump-size distribution depending on the current state of the hidden factor process. We focus on the portfolio selection problem for power utility and study the associated stochastic optimal control problem under partial information for which we derive the corresponding dynamic programming equation (DPE) for the value function. Solving the DPE then allows to compute optimal portfolio strategies. The DPE is a nonlinear partial integro differential equation which we solve by using various numerical methods. The focus is on explicit and semi-implizit difference schemes. Here, the differential operator is discretized by finite differences and the integral operator by quadrature rules. For the explicit case a convergence proof is given. As an alternative we solve the control problem using the policy improvement method and Monte Carlo methods. Numerical results are presented. Finally, we investigate diffusion approximations for high-frequency discrete-time expert opinions. For this purpose we study the limiting behavior of the integral operator in the DPE for increasing arrival intensity of the expert opinions. Based on these asymptotic results the high-frequency discrete-time expert is approximated by a continuous-time expert modelled by a diffusion process. This allows to derive an additional method to solve the utility maximization problem numerically. KW - Portfoliooptimierung KW - Partielle Information KW - Expertenmeinung KW - Diffusionsapproximation KW - Portfolio optimization KW - Diffusion approximation KW - PIDE KW - Expert opinion KW - Partial information KW - Diffusionsapproximation KW - Partielle Information KW - Portfoliomanagement KW - Optimierung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-39660 ER -