TY - THES A1 - Bähr, Martin T1 - Efficient time integration methods for linear parabolic partial differential equations with applications T1 - Effiziente Zeitintegrationsverfahren für lineare parabolische partielle Differentialgleichungen mit Anwendungen N2 - In this thesis we study efficient time integration methods for linear parabolic PDEs to solve practical problems that arise in a variety of real-world applications. The classical construction of numerical methods for solving PDEs is based on the method of lines, which leads to a large sparse semi-discretised system of ODEs to which any numerical method for initial value ODE problems can be applied. When dealing with parabolic-type problems, the underlying ODE systems are known to be stiff. Therefore, in the context of linear model problems, the use of implicit schemes is usually considered to be the best choice in practice. However, this statement is not correct for some relevant real-world applications. In particular, implicit schemes can cause high computational costs that are equipped with certain model conditions. The model problems considered here are coupled with various settings, ranging from many different initial conditions over long-term simulation with relatively frequent model updates, to dealing with very large-scale problems for which the matrix size can exceed several millions. For this reason, we are interested in sophisticated and computationally efficient numerical methods that bring the aspects of approximation accuracy as well as computational and storage complexity into balance. Even nowadays it is still a challenging task to devise a numerical method that combines high accuracy, robustness and computational efficiency for the model problem to be solved. Therefore, the main objective is to find an easy and efficient ODE integration scheme for each individual model problem. On this basis, we first give a comprehensive introduction to the state-of-the-art methods that are often used for practical purposes. In this framework, we will investigate very detailed the theoretical and numerical foundations of two popular techniques, namely the fast explicit methods and the model order reduction techniques. This is primarily important in order to fully understand the numerical methods, and also absolutely essential in finding the best numerical method that is specifically suitable for the intended purpose. Our second goal is then to efficiently solve the practical problems that arise in connection with shape correspondence, geothermal energy storage and image osmosis filtering. For each application we specify a complete setup, and in order to provide an efficient and accurate numerical approximation, we give a thorough discussion of the various numerical solvers along with many technical details and own adaptations. We validate our numerical findings through many experiments using synthetic and real-world data. In addition, the thesis provides a complete and detailed description of the powerful methods that can be very useful for tackling similar problems that are the subject of interest in many applications. N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir effiziente Zeitintegrationsmethoden für lineare parabolische PDEs, um praktische Probleme zu lösen, die in einer Vielzahl von realen Anwendungen auftreten. Die klassische Konstruktion von numerischen Methoden zur Lösung von PDEs basiert auf der Linienmethode, die zu einem großen, dünnbesetzten und halbdiskretisierten System ODEs führt, auf das anschließend jede numerische Methode für die Lösung eines Anfangswertproblems angewendet werden kann. Bei parabolischen Problemen ist bekannt, dass die zugrunde liegenden ODE-Systeme steif sind. Daher wird im Zusammenhang mit linearen Modellproblemen die Verwendung impliziter Methoden in der Praxis normalerweise als die beste Wahl angesehen. Diese Aussage ist jedoch für einige relevante Anwendungen nicht richtig. Insbesondere können implizite Methoden hohe Rechenkosten verursachen, die mit bestimmten Modellbeschränkungen verbunden sind. Die hier betrachteten Modellprobleme sind mit verschiedenen Einstellungen verbunden, die von vielen unterschiedlichen Anfangsbedingungen über die Langzeitsimulation mit relativ häufigen Modellupdates bis hin zur Behandlung sehr großer Probleme reichen, bei denen die Matrixgröße mehrere Millionen überschreiten kann. Deswegen sind wir an ausgefeilten und rechnerisch effizienten numerischen Methoden interessiert, die die Aspekte der Approximationsgenauigkeit sowie der Rechen- und Speicherkomplexität in Einklang bringen. Es ist auch heute noch eine herausfordernde Aufgabe, eine numerische Methode zu konzipieren, die hohe Genauigkeit, Robustheit und Recheneffizienz kombiniert. Das Hauptziel besteht darin, ein simples und effizientes ODE-Integrationsschema für jedes Modellproblem zu finden. Zunächst geben wir eine umfassende Einführung in die modernsten Methoden, die oft für praktische Zwecke eingesetzt werden. In diesem Rahmen werden wir die theoretischen und numerischen Grundlagen zweier populärer Techniken sehr detailliert untersuchen, nämlich die schnellen expliziten Methoden und die Modellordnungsreduktionstechniken. Das ist wichtig, um die Verfahren vollständig zu verstehen und die beste numerische Methode zu finden, die speziell für den beabsichtigten Zweck geeignet ist. Das zweite Ziel ist dann, die praktischen Probleme im Zusammenhang mit Formkorrespondenz, geothermischer Energiespeicherung und osmosebasierte Bildverarbeitung effizient zu lösen. Für jede Anwendung geben wir einen vollständigen Aufbau an. Um eine effiziente genaue numerische Approximation bereitzustellen, werden die numerischen Löser zusammen mit vielen technischen Details und eigenen Anpassungen ausführlich erläutert. Wir validieren unsere numerischen Resultate durch Experimente mittels synthetischer und realer Daten. Außerdem bietet die Arbeit eine vollständige und detaillierte Beschreibung der leistungsstarken Methoden, die sehr nützlich sein können, um ähnliche Probleme anzugehen, die in vielen Anwendungen von Interesse sind. KW - Parabolic equations KW - Time integration methods KW - Fast explicit methods KW - Model order reduction KW - Visual computing KW - Parabolische Gleichungen KW - Zeitintegrationsverfahren KW - Schnelle explizite Verfahren KW - Modellordnungsreduktion KW - Lineare parabolische Differentialgleichung KW - Modellordnungsreduktion KW - Zeitintegrationsverfahren Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-57532 ER - TY - THES A1 - Clausnitzer, Julian T1 - Numerical solution of SPDEs on a class of two-dimensional domains and of random differential equations using PCE with exponential time differencing T1 - Numerische Lösung von SPDEs auf einer Klasse zweidimensionaler Gebiete und von zufälligen Differentialgleichungen mittels PCE und exponentiellen Zeitschrittverfahren N2 - The first part of this thesis deals with the numerical solution of semilinear parabolic stochastic partial differential equations on general two-dimensional C²-bounded domains. The existing exponential Euler time stepping scheme is used on two-dimensional domains, using a spectral approximation in space. Since the base functions are not given analytically, they are numerically approximated using a boundary element method combined with a contour integral method to solve nonlinear eigenvalue problems. An error analysis is given, and numerical experiments conclude the investigation of the method. The second part of the thesis compares the performance of non-intrusive and intrusive polynomial chaos expansion methods based on exponential time differencing schemes for a range of random ordinary and partial differential equations. It is shown in comprehensive numerical experiments that the two approaches are competitive for a range of different equations, but intrusive polynomial chaos becomes less efficient for polynomial nonlinearities of degree greater than two and breaks down for a reaction-diffusion equation exhibiting complex pattern formation behavior. N2 - Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird die numerische Lösung semilinearer parabolischer stochastischer Differentialgleichungen auf zweidimensionalen C²-berandeten Gebieten untersucht. Das exponential Euler-Verfahren aus der Literatur wird auf zweidimensionale Gebiete angewandt, wobei eine spektrale Approximation im Raum benutzt wird. Da die Basisfunktionen nicht analytisch gegeben sind, müssen sie numerisch approximiert werden, wofür eine Randelementmethode in Kombination mit einer Konturintegralmethode zur Lösung nichtlinearer Eigenwertprobleme benutzt wird. Nach der Durchführung einer Fehleranalyse wird die Untersuchung dieser Methode mit numerischen Experimenten abgeschlossen. Der zweite Teil der Arbeit vergleicht die Leistungsfähigkeit nicht-intrusiver und intrusiver polynomieller Chaos-Methoden unter Benutzung exponentieller Integratoren für eine Reihe zufälliger ordinärer und partieller Differentialgleichungen. Es wird in umfangreichen numerischen Experimenten demonstriert, dass die zwei Methoden für die Lösung verschiedener Gleichungen vergleichbar performant sind. Die intrusive polynomielle Chaos-Methode ist jedoch weniger effizient für polynomielle Nichtlinearitäten vom Grad größer als zwei und liefert keine korrekten Ergebnisse für Reaktions-Diffusionsgleichungen, deren Lösungen komplexe Musterbildung aufweisen. KW - SPDE KW - Boundary integral method KW - Random differential equation KW - Polynomial chaos KW - Exponential time differencing KW - Dissertation KW - Stochastische partielle Differentialgleichungen KW - Randintegralmethode KW - Spektralmethode KW - Polynomielles Chaos KW - Numerisches Verfahren KW - Stochastische partielle Differentialgleichung KW - Zufällige Differentialgleichung KW - Wiener-Chaos-Zerlegung Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-70206 ER - TY - THES A1 - Khanian, Maryam T1 - 3D reconstruction using generalized perspective photometric stereo T1 - 3D-Rekonstruktion durch die Verwendung der generalisierten Perspektive Photometric Stereo N2 - Reconstruction of the 3D shape information is a fundamental problem in computer vision. Among different shape recovering technologies, photometric stereo is highlighted for its capability to produce high quality 3D reconstruction. This dissertation generalizes photometric stereo in different aspects towards creating a practical 3D reconstruction. The proposed techniques can be considered as a fundamental support to develop future cameras offering 3D shapes for various applications such as movie and video game industry, medical sciences, virtual reality, automotive driving and etc. The first generalization is developed for addressing specularities in 3D reconstructions and also involving the perspective projection. These attempts lead to remove the limitation of working with diffuse materials and confined projected scenes. We will prove the applicability of our approach using complex scenes like endoscopy images. In the second proposed approach, we will offer a real-time 3D reconstruction of micro-details with a more generalized reflectance model. Moreover, a recurrent optimization network will be provided. These innovations lead to presenting the 3D reconstruction of details which are even invisible to human eyes like micro-prints on the banknote. This information recovery can be used in various areas such as detecting security items on financial documents for fraud detection and also the quality control of any industrial productions including delicate details such as printed circuits. In the third proposed model, we develop a PS reconstruction technique using neural networks for the uncalibrated PS where the light direction is not available. Finally, for the first time, benefiting from deep neural networks and meta heuristic algorithms, we will devise an approach which can deliver high qualified 3D shape from the internet and out-door images, without any pre-necessary knowledge. N2 - Die Rekonstruktion von 3D-Gestaltinformationen ist eine fundamentale Aufgabenstellung im Bereich Computer-Vision. Unter den verschiedenen Techniken ist das sogenannte Photometrische Stereo Verfahren (PS) hervorzuheben, da es im Vergleich zu anderen Ansätzen ein höheres Potenzial für eine hoch genaue 3D-Rekonstruktion besitzt. Diese Arbeit befasst sich mit Verallgemeinerungen klassischer PS-Ansätze, die dieses Potenzial weiter ausschöpfen sollen. Die Entwicklungen können beispielsweise verwendet werden, um in Zukunft die 3D-Information in verschiedensten Bereichen für einen Anwender zu erschließen, wie etwa in der Medizin, der Film- und Videospieleindustrie, beim autonomen Fahren oder für Anwendungen in der virtuellen Realität. Die erste der Neuentwicklungen betrifft die systematische Verwendung von hellen Lichtreflexionen in der Berechnung der 3D-Rekonstruktion sowie die perspektivische Projektion. Hierdurch werden Beschränkungen üblicher Methoden, wie auf die Rekonstruktion diffus reflektierender Materialien und auf relativ weit entfernte Objekte, aufgehoben. Die Anwendbarkeit des entwickelten Ansatzes wird mittels der Rekonstruktion aus endoskopischen Bildern mit vielen hellen Lichtreflexionen untermauert. In einem weiteren Schritt wird gezeigt, wie man in Echtzeit eine 3D-Rekonstruktion auch von sehr feinen Details mittels eines verallgemeinerten Reflexionsmodells erreichen kann. Hierdurch werden hochaufgelöste Rekonstruktionen auch von Details erreicht, die für das menschliche Auge in Bildern unsichtbar sind. Hieraus ergeben sich viele potenzielle Anwendungsmöglichkeiten, etwa im Bereich der automatischen Detektion von Mikrodruck, die im Sicherheitsbereich Verwendung finden, oder in der industriellen Produktion für die Detektion sehr feiner Strukturen wie etwa gedruckter Schaltkreise. Als weiterer Beitrag der Arbeit wird ein Verfahren für das sogenannte nicht-kalibrierte PS entwickelt, bei dem neuronale Netzwerke verwendet werden, um die in diesem Fall fehlende Information der Beleuchtungsrichtung auszugleichen. Schließlich wird zum ersten Mal in der Literatur beschrieben, wie man basierend auf Metaheuristiken und tiefen neuronalen Netzen eine qualitativ hochwertige 3D-Rekonstruktion allein durch Bilder aus dem Internet oder natürliche Bilder ohne weiteres zusätzliches Wissen erlangt. KW - Artificial Intelligence KW - Computer vision KW - 3D Reconstruction KW - Neural networks KW - Photometric stereo KW - Künstliche Intelligenz KW - Computer-Vision KW - 3D-Rekonstruktion KW - Neuronale Netze KW - Photometrisches Stereo KW - Dreidimensionale Rekonstruktion KW - Maschinelles Sehen KW - Neuronales Netz Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-47191 ER - TY - THES A1 - Sharifi Boroujerdi, Ali T1 - Linguistic interpretation of visual contents via Deep Learning T1 - Linguistische Interpretation visueller Inhalte durch Deep Learning N2 - The main part of the research outlined in this thesis is to develop Deep Learning models for the linguistic interpretation of the visual contents. This part is split into two research problems: interactive region segmentation and captioning, and selective texture labeling. In the first attempt, we proposed a novel hybrid Deep Learning architecture whereby the user is able to specify an arbitrary region of the image that should be highlighted and described. The proposed model alternates the bounding box indications of the standard object localization process with the output of a deep interactive segmentation module to achieve a better understanding of the dense image captioning and improve the object localization accuracy. The idea of the next part is to establish a bidirectional correlation between deep texture representation and its linguistic description via a hybrid CNN-RNN model that enables end-to-end learning of the selective texture labeling. This novel architecture provides new opportunities to describe, search, and also retrieve texture images from their linguistic descriptions. To be able to train such a model, we generated a multi-label texture dataset that covers color, material, and pattern labeling simultaneously. Our contribution to the automatic generation of texture descriptions provides an excellent opportunity to enrich the existing vocabulary of the image captioning. Such a conceptual extension can be used for fine-grained captioning applicable in geology, meteorology and other natural sciences where fine-grained image structures are of importance to understand complicated patterns. Apart from Deep Learning technologies, in the final section of the thesis, we proposed a novel approach to define mathematical morphology on color images. To this end, we converted common RGB-values of the color images into a new biconal color space and then combined two approaches of mathematical morphology to give meaning to the maximum and the minimum of the matrix field data and formulate our novel strategy. N2 - Der Hauptteil dieser Arbeit besteht darin, Deep Learning (DL) Modelle für die sprachliche Interpretation von visuellen Inhalten zu entwickeln. Dieser Teil ist in zwei Forschungsprobleme gegliedert: Interaktive Segmentierung und Beschriftung (Captioning) von Regionen und selektive Texturbeschriftung. Zur Lösung der ersten Aufgabenstellung wurde eine neue, hybride DL-Architektur vorgestellt, bei der der Benutzer eine beliebige Region eines Bildes anklicken kann, die automatisch segmentiert und sprachlich beschrieben werden soll. Das neue Modell wechselt die Bounding-Box-Indikationen des Standardobjektlokalisierungsprozesses mit der Ausgabe eines interaktiven, Deep Learning-basierten Segmentierungsmodules. Auf diese Weise wird ein besseres Resultat für das Captioning erzielt, und auch die Objektsegmentierung wird verbessert. Im zweiten Teil der neuen Entwicklungen wird eine wechselseitige Korrelation zwischen DL-basierten Texturrepräsentationen einerseits und deren sprachlicher Beschreibung andererseits mittels einer neuen, speziellen Konstruktion neuraler Netze hergestellt. Dieses neuartige, hybride CNN-RNN-Modell ermöglicht ein sogenanntes end-to-end Learning von Texturbeschreibungen. Wie aufgezeigt wird, entstehen durch die spezielle Architektur dieses neuralen Netzes neue Möglichkeiten zur Charakterisierung, gezielten Suche und zum Retrieval von texturierten Bildern mittels Eingabe sprachlicher Beschreibungen. Um ein solches Modell trainieren zu können, haben wir einen Multi-Label-Textur-Datensatz generiert, der Farbe, Material und Musterbeschriftung gleichzeitig abdeckt. Der Beitrag dieser Arbeit zur automatischen Generierung von Texturbeschreibungen bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit, das bestehende Vokabular der Bildunterschriften zu erweitern. Eine solche konzeptionelle Erweiterung kann für feinkörnige Bildunterschriften in der Geologie, Meteorologie und anderen Naturwissenschaften verwendet werden, bei denen feinkörnige Bildstrukturen für das Verständnis komplexer Muster von Bedeutung sind. Im letzten Abschnitt der Arbeit wird abgesehen von Deep Learning-Technologien ein neuartiger Ansatz für die Realisierung von morphologischen Prozessen auf farbigen Bildern vorgestellt. Zu diesem Zweck haben wir gemeinsame RGB-Werte der farbigen Bilder in einen neuen bikonalen Farbraum umgewandelt und anschließend zwei Ansätze der mathematischen Morphologie kombiniert, um dem Maximum und dem Minimum der Matrixfelddaten Bedeutung zu verleihen und unsere neue Strategie zu formulieren. KW - Deep Learning KW - Computer vision KW - Linguistic Interpretation KW - Machine Learning KW - Texture description KW - Deep Learning KW - Computer Vision KW - Linguistische Interpretation KW - Maschinelles Lernen KW - Textur Beschreibung KW - Maschinelles Sehen KW - Computerlinguistik KW - Deep Learning Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-47184 ER - TY - THES A1 - Castillo Alejandre, Susana T1 - Digital humanity: the temporal and semantic structure of dynamic conversational facial expressions T1 - Digitale Menschlichkeit: Die zeitliche und semantische Struktur dynamischer Gesichtsausdrücke im Gespräch N2 - This thesis focuses on establishing a - theoretically founded and empirically derived - novel methodological pipeline to provide Embodied Conversational Agents (ECAs) with natural facial expressions and desired personality traits. After giving an overview on the content of this thesis, we dedicate its second part to derive the Semantic Space (SSp) for facial expressions, finding that the same space is used for expression words, expression videos, and motion-capture-based point-cloud animations. The process involved the creation of a new facial expression database using Motion Capture (MoCap) technology. Our technique can be used to empirically map specific motion trajectories (including their frequency-decomposition) onto specific perceptual attributes, allowing the targeted creation of novel animations with the desired perceptual traits, as exemplified in the third part of this thesis. Before addressing our final conclusions and, on the grounds that the systematic differences between individuals while performing the same facial expressions are related to their personality, we devote the fourth part of this thesis to the study of the mapping between personality and expressive facial motions. N2 - Diese Arbeit konzentriert sich darauf eine - theoretisch fundierte und empirisch belegte - neue methodologische Pipeline bereitzustellen, um Embodied Conversational Agents (ECAs) mit natürlichen Gesichtsausdrücken und gewünschten Persönlichkeitseigenschaften auszustatten. Nachdem ein Überblick über den Inhalt der Arbeit gegeben wurde, wird sich der zweite Teil der Dissertation mit der Herleitung des Semantic Space (SSp) für Gesichtsausdrücke beschäftigen und dem Belegen das selbiger SSp sowohl für die Wörter, die zum Beschreiben der gegebenen Gesichtsausdrücke genutzt werden, als auch für Kameravideos und für Motion-Capture basierte Punktwolken-Animationen genutzt werden kann. Dafür musste eine neue Ausdrucksdatenbank mit Hilfe der Motion Capture (MoCap) Technologie angefertigt werden. Unsere Technik erlaubt es bestimmte Bewegungskurven (inklusive deren Frequenz) auf spezifische wahrgenommene Attribute abzubilden und damit gezielt neue Animation mit gewünschten Persönlichkeitseigenschaften zu erschaffen, dies wird im dritten Teil der Dissertation veranschaulicht. Bevor wir abschließende Schlussfolgerungen ziehen, widmet sich der vierte Teil der Dissertation, basierend auf der Grundlage, dass unterschiedliche Individuen gleiche Gesichtsausdrücke auf Basis ihrer Persönlichkeit anders darstellen, einer Studie, welche eine Abbildung von Persönlichkeit und ausdrucksvollen Gesichtsbewegungen vorsieht. KW - Facial Animation KW - Cognitive-based behavioural modelling KW - Motion capture KW - Personality KW - Gesichtsanimation KW - Kognitiv-basierte Verhaltensmodellierung KW - Persönlichkeit KW - Merkmalsextraktion KW - Motion Capturing KW - Mimik KW - Computeranimation Y1 - 2019 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-51562 ER - TY - THES A1 - Schneidereit, Toni T1 - The solution of time-dependent ordinary differential equations using neural networks : collocation polynomial neural forms and adaptive neural domain refinement T1 - Die Lösung von zeitabhängigen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Neuronalen Netzen : Neuronale Kollokationspolynome und adaptive Neuronale Gebietsverfeinerung N2 - Solving differential equations is still a topic of major interest, due to their appearance in many fields of science and engineering and a classic approach with neural networks builds upon trial solutions, the so-called neural forms. The latter are incorporated in a cost function that is subject to minimisation, to train the involved neural networks. Neural forms represent general and flexible tools for solving ordinary differential equations, partial differential equations as well as systems of each. However, the computational approach is in general highly dependent on a variety of computational parameters and the choice of the optimisation methods. Studying the solution of a simple but fundamental stiff ordinary differential equations with small feedforward neural networks and first order optimisation shows, that it is possible to identify preferable choices for parameters and methods. The neural network weight initialisation appears to be a sensitive topic, while having a major impact on the solution accuracy. Especially the use of non-random (deterministic) weights partially shows poor performance, but removes a stochastic component. Further research reveals, that a new polynomial representation of the neural forms can significantly increase the reliability of a deterministic initialisation (all weights have initially the same values assigned). In order to maintain smaller neural network architectures and solve the differential equation, even on fairly large domains, a new technique called domain segmentation (for initial value problems) is introduced. The solution domain splits into equidistant subdomains and the above-mentioned collocation polynomial neural forms are solved separately in each domain fragment. At the boundary of any subdomain, a new initial value is provided by the neural forms solution and directly incorporated in the adjacent one. In classic adaptive numerical methods for solving differential equations, the mesh as well as the domain may be refined or decomposed, respectively, in order to improve numerical accuracy. The subdomain distribution can also be connected with an adaptive refinement. That is, the neural network training status is combined with an adaptive subdomain size reduction in the new adaptive neural domain refinement algorithm. That is, each subdomain is reduced in size until the optimisation is resolved up to a predefined training accuracy. In addition, while the neural networks are by default small, the number of neurons may also be adjusted in an adaptive way. Conditions are introduced to automatically confirm the solution reliability and optimise computational parameters whenever it is necessary. N2 - Die Lösung von Differentialgleichungen ist auch heutzutage ein wichtiges Thema, da diese in vielen Bereichen der Wissenschaft auftauchen und zum Beispiel bei der mathematischen Modellierung physikalischer Systeme Anwendung finden. Ein klassischer Ansatz aus dem Bereich der Neuronalen Netze setzt auf sogenannte „trial solutions“ oder „neural forms“. Diese werden in eine Kostenfunktion eingebunden, welche zum Zweck des Trainings der Neuronalen Netze minimiert werden soll. Generell bilden die neural forms flexible Werkzeuge zur Lösung von gewöhnlichen, partiellen und auch Systemen von Differentialgleichungen. Dennoch sind diese rechnergestützten Ansätze stark abhängig von einer Vielzahl an Parametern. Eine rechenbasierte Studie zur Lösung eines einfachen, steifen Anfangswertproblems mit einfachen, sogenannten „feedforward neural networks“ und Optimierung erster Ordnung zeigt, dass die sorgfältige Auswahl durchaus vorteilhafte Parameterkombinationen ergeben kann. Die Initialisierung der Anfangsgewichte der Neuronalen Netze ist ein sensibles Thema. Während konstant (nicht zufällig) gewählte Gewichte einen stochastischen Effekt eliminieren, so liefern sie stellenweise keine verlässlichen Approximationen. Weiterführend ist es jedoch möglich, mit einer Polynomdarstellung der neural forms, die Aussagekraft der Lösungen mit konstanten Gewichten deutlich zu verbessern. Die oben genannte rechenbasierte Studie zeigt zudem auf, dass zu groß gewählte Lösungsgebiete zu keinen verlässlichen Ergebnissen führen können. Eine Charakteristik der neural forms bezieht sich auf die Einbindung gegebener Anfangswerte in die neural forms selbst oder direkt in die Kostenfunktion. Um die Architekturen der Neuronalen Netze weiterhin klein zu halten und die Differentialgleichungen trotzdem auch auf größeren Gebieten lösen zu können, wird die Methode der „domain segmentation“ eingeführt. Diese teilt das gesamte Gebiet in kleinere Untergebiete auf und löst die „collocation polynomial neural forms“ einzeln in jedem der gleichverteilten Untergebiete. Die Lösung in einem dieser Untergebiete liefert dann den neuen Anfangswert für das benachbarte Untergebiet. Der domain segmentation Ansatz kann mit einer zusätzlichen adaptiven Verfeinerung kombiniert werden, in welchem die Kostenfunktion ausgewertet und als Status des Trainings der Neuronalen Netze definiert wird. Zusammen mit einem adaptiven Algorithmus für eine mögliche Verkleinerung der oben genannten Untergebiete ist der „adaptive neural domain refinement“ Ansatz entstanden. Jedes Untergebiet kann in seiner Größe verringer werden, bis die Minimierung der Kostenfunktion bis zu einer vordefinierten Genauigkeit erreicht ist. Eine Komponente zur automatischen Bestätigung des Ergebnisses ist in den Algorithmus aufgenommen worden. Zusätzlich zu den normalerweise kleinen Neuronalen Netzwerken wird eine automatische Anpassung der Parameter ermöglich, sollten einzelne Untergebiete in ihrer Größe zu klein werden. KW - Neural forms KW - Differential equations KW - Collocation polynomial neural forms KW - Domain segmentation KW - Adaptive neural domain refinement KW - Neuronale Formen KW - Differentialgleichungen KW - Neuronale Kollokationspolynome KW - Adaptive Neuronale Gebietsverfeinerung KW - Differentialgleichung KW - Kollokation KW - Numerisches Verfahren KW - Polynom KW - Differential equations KW - Collocation methods Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-63896 ER - TY - THES A1 - Kahra, Marvin T1 - Maximumprinzipien für harmonische Abbildungen in Riemann’schen Mannigfaltigkeiten T1 - Maximum principles for harmonic mappings in Riemannian manifolds N2 - Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen des Dirichlet-Problems für harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von Jäger und Kaul dar, welches durch Abschätzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen Hülle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann’schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geodätischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache Überdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung gewährleistet. Diese Aussage lässt sich in dem Sinne erweitern, dass die Lösung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus über das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich führen wir diese Methode am Beispiel der Poincaré’schen Halbebene vor. N2 - The concept of the maximum principle represents a special property of solutions of certain differential equations. It is basically the property that the (global) maximum is assumed to be at the boundary of the domain of definition of the figure that satisfies the maximum principle. The greatest application of the maximum principle is in the uniqueness and stability of the solutions of Dirichlet problems, which is the subject of this work. For this purpose, some basic assumptions concerning two-dimensional Riemannian manifolds and their metrics are used to obtain estimates for Jacobi fields. In doing so, the Jacobi fields are split into a tangent and a normal part and, in particular, the normal part is restricted both from below and from above, resulting in a restriction of the Riemannian metric for arbitrary two-dimensional vectors. These estimates form the cornerstone for the application of the direct variational method of Hildebrandt, Kaul and Widman to the case of a circular disk in a Riemannian manifold. A weak existence statement concerning the minimisation problem of the energy functional is shown, which does not require any further regularity assumptions, and is then extended to weakly harmonic mappings with prescribed boundary values. A further result presents the uniqueness and stability of solutions of the Dirichlet problem for harmonic mappings in the form of the maximum principle of Jäger and Kaul, which is obtained by estimates of Jacobi fields. As an alternative approach to this, the maximum principle of the convex hull is presented in this paper. The most important differences are that here a stable Riemannian domain is assumed and by means of this a family of geodesics is considered, which form a simple overlap of the circular disk in the form of a central field. Furthermore, this method guarantees the uniqueness of the Dirichlet solution. This statement can be extended in the sense that, under appropriate conditions on the metric, the solution is a C^(2+α)-diffeomorphism over the entire domain. Finally, we demonstrate this method on the example of Poincaré's half-plane. KW - Maximumprinzip KW - Mannigfaltigkeit KW - Harmonische Abbildung KW - Maximum principle KW - Manifold KW - Harmonic mapping KW - Mannigfaltigkeit KW - Maximumprinzip KW - Harmonische Abbildung KW - Partielle Differentialgleichung KW - Dirichlet-Problem Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889 ER -