TY - THES A1 - Richter, Sebastian T1 - Direct numerical simulation of nonlinear pattern formation on the surface of liquid films T1 - Direkte Numerische Simulation von Nichtlinearer Musterbildung auf der Oberfläche von Flüssigkeitsfilmen N2 - We investigate the dynamics of a Newtonian liquid layer bounded on one side by a horizontal and planar substrate and on the other side by its free and deformable surface. The system is subjected to a time-periodic gravitation field in lateral or normal direction. Based on a nonlinear coordinate transformation, which maps the time-dependent surface onto a constant domain and thus eliminates the need for tracking the interface, a finite-difference method on staggered grids is presented, allowing direct numerical simulations of the full incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. Taking into account the continuity equation, a sparse linear system for the pressure is obtained from the discretized Navier-Stokes equations whose solution satisfies the conservation of momentum and mass, so that pressure corrections can be avoided. In the case of a harmonic force perpendicular to the substrate, we find in high frequency ranges the classical square patterns oscillating subharmonically with half of the driver’s frequency. For a slow excitation, hexagonal Faraday waves emerge oscillating at the forcing frequency. Vertical two-frequency excitations lead to more complex patterns — surface waves having the shape of a square superlattice are found. In the case of a lateral excitation, the formation of coarsening droplets is observed. We show that ratchet-like forces generate a nonvanishing averaged flow rate inducing a preferred direction of motion of the drops. These results correspond well with those of a simplified model based on the lubrication approximation. Our investigations also include systems in Rayleigh-Taylor configuration, where the liquid is located on the underside of the substrate. By considering rigid walls instead of periodic boundaries, wave amplification due to resonance can be studied. The corresponding numerical results are in good agreement with experimentally obtained data. N2 - Wir untersuchen die Dynamik einer Newtonschen Flüssigkeitsschicht, die von einer Seite durch ein horizontales und planares Substrat und auf der anderen Seite durch ihre freie und verformbare Oberfläche begrenzt ist. Das System wird einem zeitlich periodischen Gravitationsfeld in lateraler oder in normaler Richtung ausgesetzt. Basierend auf einer nichtlinearen Koordinatentransformation, die die Oberfläche auf ein konstantes Gebiet abbildet und somit eine Verfolgung der Grenzfläche unnötig macht, wird eine Finite-Differenzen-Methode auf versetzten Gittern vorgestellt, welche direkte numerische Simulationen der vollständigen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Dimensionen ermöglicht. Unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus den diskretisierten Navier-Stokes-Gleichungen ein dünnbesetztes lineares Gleichungssystem für den Druck, dessen Lösung Impuls- und Massenerhaltung erfüllt, so dass Druckkorrekturen vermieden werden können. Im Falle einer harmonischen Kraft senkrecht zum Substrat finden wir in hohen Frequenzbereichen die klassischen quadratischen Instabilitäten, die subharmonisch mit der Hälfte der Frequenz der Anregung schwingen. Bei einer langsamen Anregung entstehen hexagonale Faraday-Wellen, welche mit der Frequenz der äußeren Kraft oszillieren. Vertikale Zweifrequenzanregungen führen zu komplexeren Mustern — Oberflächenwellen in der Form übergeordneter Quadrate werden gefunden. Im Falle einer lateralen Anregung wird die Entstehung von sich vergröbernden Tropfenstrukturen beobachtet. Wir zeigen, dass sägezahnartige Kräfte eine im zeitlichen Mittel nicht verschwindende Strömung erzeugen, wodurch eine bevorzugte Bewegungsrichtung der Tropfen induziert wird. Die Ergebnisse stimmen gut mit denen eines vereinfachten, auf der Schmiermittelnäherung basierenden Modells überein. Unsere Untersuchungen umfassen auch Systeme in Rayleigh-Taylor-Konfiguration, bei denen sich die Flüssigkeit auf der Unterseite des Substrats befindet. Durch die Berücksichtigung fester Wände anstelle von periodischen Rändern kann die Wellenverstärkung durch Resonanz untersucht werden. Die entsprechenden numerischen Ergebnisse decken sich gut mit experimentell gewonnenen Daten. KW - Faraday waves KW - Droplet formation KW - Direct numerical simulation KW - Pattern formation KW - Nonlinear dynamics KW - Faraday-Wellen KW - Tropfenbildung KW - Direkte numerische Simulation KW - Musterbildung KW - Nichtlineare Dynamik KW - Flüssigkeitsfilm KW - Direkte numerische Simulation KW - Nichtlineare Dynamik KW - Musterbildung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-54319 ER -