TY - THES A1 - Rasin, Igor T1 - Numerical simulation of microstructure of the GeSi alloy T1 - Numerische Simulation der Mikrostruktur der GeSi-Legierung N2 - The goal of this work is to investigate pattern formation processes on the solid-liquid interface during the crystal growth of GeSi. GeSi crystals with cellular structure have great potential for applications in gamma-ray and neutron optics. The interface patterns induce small quasi-periodic distortions of the microstructure called mosaicity. Existence and properties of this mosaicity are important for the application of the crystals. The properties depend on many factors; this dependence, is currently not known even not qualitatively. A better understanding of the physics near the crystal surface is therefore required, in order to optimise the growth process. There are three main physical processes in this system: phasetransition, diffusion and melt flow. Every process is described by its own set of equations. Finite difference methods and lattice kinetic methods are taken for solving these governing equations. We have developed a modification of the kinetic methods for the advectiondiffusion and extended this method for simulations of non-linear reaction diffusion equations. The phase-field method was chosen as a tool for describing the phase-transition. There are numerous works applied for different metallic alloys. An attempt to apply the method directly to simulation GeSi crystal growth showed that this method is unstable. This instability has not been observed in previous works due to the much smaller scale of simulations. We introduced a modified phase-field scheme, which enables to simulate pattern formation with the scale observed in experiment. A flow in the melt was taken in to account in the numerical model. The developed numerical model allows us to investigate pattern formation in GeSi crystals. Modelling shows that the flow near the crystal surface has impact on the patterns. The obtained patterns reproduce qualitatively and in some cases quantitatively the experimental results. N2 - Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, Mikrostrukturen, die während des Wachstumsprozesses von GeSi-Einkristallen entstehen zu erforschen. GeSi-Kristalle mit zellularer Struktur haben ein hohes Potential für die Anwendung in der Gamma- und in der Neutronenoptik. Die sich an der Phasengrenze ausbildene zellulare Struktur verursacht entsprechende quasi-periodische Abweichungen in der Kristallstruktur, die Mosaizität genannt werden. Die Existenz und die Eigenschaften dieser Mosaizität sind entscheidend für die Anwendung der Kristalle. Die Eigenschaften hängen von vielen Faktoren ab. Gegenwärtig sind diese Abhängigkeiten sogar qualitativ noch nicht bekannt. Deswegen ist es notwendig, ein besseres Verständnis für die Vorgänge an der Phasengrenze zu erhalten. Dabei sind im wesentlichen drei physikalische Prozesse wichtig: Phasenübergang, Diffusion und Schmelzkonvektion. Jeder Prozess wird durch entsprechende Gleichungen beschrieben. Für die Lösung der Gleichungen wurden Finite-Differenzen-Methoden und die kinetischen Methoden angewandt. Wir haben eine Erweiterung der kinetischen Methode für die Advektions-Diffusionsgleichungen und die nichtlinearen Reaktions-Diffusions Gleichungen entwickelt. Die Phasenfeld-Methode wurde als ein Werkzeug für die Beschreibung des Phasenübergangs gewählt. Es gibt eine Vielzahl von Arbeiten, die diese Methode auf die Erstarrung unterschiedlicher metallischer Legierungen anwenden. Bei der Anwendung der Ansätze dieser Arbeiten auf die Kristallisation der GeSi-Kristalle traten modellbedingte Instabilitäten auf. Diese Stabilitätsprobleme wurden bei anderen Arbeiten nicht beobachtet, da die zu berechnenden Strukturen wesentlich kleiner waren. Zur Lösung des Problems entwickelten wir eine modifizierte Phasenfeldgleichung, anhand welcher es möglich ist, die Simulation von entsprechend großen Zellularstrukturen durchzuführen, wie sie im Experiment beobachtet worden sind. Der Algorithmus zur Lösung der Phasenfeldgleichung wurde mit dem kinetischen Schema zur Lösung der Diffusions-Advektions- Gleichung und dem Algorithmus zur Strömungsberechnung gekoppelt. Das entwickelte numerische Modell erlaubt uns, die strukturbildenden Prozesse in GeSi-Kristallen zu untersuchen. Die Modellierung zeigte, dass Strömungen in der Nähe der Phasengrenze einen Einfluss auf die Zellularstrukturen ausüben. Die simulierte Struktur reproduziert qualitativ und in manchen Fällen sogar quantitativ die experimentellen Ergebnisse. KW - Germanium KW - Silicium KW - Legierung KW - Kristallwachstum KW - Kristallzüchtung KW - Gitter-Boltzmann KW - Phasenfeld KW - Erstarrung KW - Strukturbildung KW - Crystal growth KW - Lattice Boltzmann KW - Phase field KW - Solidification KW - Pattern formation Y1 - 2006 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-474 ER - TY - THES A1 - Richter, Sebastian T1 - Direct numerical simulation of nonlinear pattern formation on the surface of liquid films T1 - Direkte Numerische Simulation von Nichtlinearer Musterbildung auf der Oberfläche von Flüssigkeitsfilmen N2 - We investigate the dynamics of a Newtonian liquid layer bounded on one side by a horizontal and planar substrate and on the other side by its free and deformable surface. The system is subjected to a time-periodic gravitation field in lateral or normal direction. Based on a nonlinear coordinate transformation, which maps the time-dependent surface onto a constant domain and thus eliminates the need for tracking the interface, a finite-difference method on staggered grids is presented, allowing direct numerical simulations of the full incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. Taking into account the continuity equation, a sparse linear system for the pressure is obtained from the discretized Navier-Stokes equations whose solution satisfies the conservation of momentum and mass, so that pressure corrections can be avoided. In the case of a harmonic force perpendicular to the substrate, we find in high frequency ranges the classical square patterns oscillating subharmonically with half of the driver’s frequency. For a slow excitation, hexagonal Faraday waves emerge oscillating at the forcing frequency. Vertical two-frequency excitations lead to more complex patterns — surface waves having the shape of a square superlattice are found. In the case of a lateral excitation, the formation of coarsening droplets is observed. We show that ratchet-like forces generate a nonvanishing averaged flow rate inducing a preferred direction of motion of the drops. These results correspond well with those of a simplified model based on the lubrication approximation. Our investigations also include systems in Rayleigh-Taylor configuration, where the liquid is located on the underside of the substrate. By considering rigid walls instead of periodic boundaries, wave amplification due to resonance can be studied. The corresponding numerical results are in good agreement with experimentally obtained data. N2 - Wir untersuchen die Dynamik einer Newtonschen Flüssigkeitsschicht, die von einer Seite durch ein horizontales und planares Substrat und auf der anderen Seite durch ihre freie und verformbare Oberfläche begrenzt ist. Das System wird einem zeitlich periodischen Gravitationsfeld in lateraler oder in normaler Richtung ausgesetzt. Basierend auf einer nichtlinearen Koordinatentransformation, die die Oberfläche auf ein konstantes Gebiet abbildet und somit eine Verfolgung der Grenzfläche unnötig macht, wird eine Finite-Differenzen-Methode auf versetzten Gittern vorgestellt, welche direkte numerische Simulationen der vollständigen inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in zwei und drei Dimensionen ermöglicht. Unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aus den diskretisierten Navier-Stokes-Gleichungen ein dünnbesetztes lineares Gleichungssystem für den Druck, dessen Lösung Impuls- und Massenerhaltung erfüllt, so dass Druckkorrekturen vermieden werden können. Im Falle einer harmonischen Kraft senkrecht zum Substrat finden wir in hohen Frequenzbereichen die klassischen quadratischen Instabilitäten, die subharmonisch mit der Hälfte der Frequenz der Anregung schwingen. Bei einer langsamen Anregung entstehen hexagonale Faraday-Wellen, welche mit der Frequenz der äußeren Kraft oszillieren. Vertikale Zweifrequenzanregungen führen zu komplexeren Mustern — Oberflächenwellen in der Form übergeordneter Quadrate werden gefunden. Im Falle einer lateralen Anregung wird die Entstehung von sich vergröbernden Tropfenstrukturen beobachtet. Wir zeigen, dass sägezahnartige Kräfte eine im zeitlichen Mittel nicht verschwindende Strömung erzeugen, wodurch eine bevorzugte Bewegungsrichtung der Tropfen induziert wird. Die Ergebnisse stimmen gut mit denen eines vereinfachten, auf der Schmiermittelnäherung basierenden Modells überein. Unsere Untersuchungen umfassen auch Systeme in Rayleigh-Taylor-Konfiguration, bei denen sich die Flüssigkeit auf der Unterseite des Substrats befindet. Durch die Berücksichtigung fester Wände anstelle von periodischen Rändern kann die Wellenverstärkung durch Resonanz untersucht werden. Die entsprechenden numerischen Ergebnisse decken sich gut mit experimentell gewonnenen Daten. KW - Faraday waves KW - Droplet formation KW - Direct numerical simulation KW - Pattern formation KW - Nonlinear dynamics KW - Faraday-Wellen KW - Tropfenbildung KW - Direkte numerische Simulation KW - Musterbildung KW - Nichtlineare Dynamik KW - Flüssigkeitsfilm KW - Direkte numerische Simulation KW - Nichtlineare Dynamik KW - Musterbildung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-54319 ER -