TY - THES A1 - Schütze, Stephan T1 - Ein Nutzenmaximierungsproblem mit unvollständiger Information und Expertenmeinungen in einem Finanzmarkt mit Markov-modulierter Drift T1 - An Utility maximization problem under partial information with expert opinions in a market with Markovian drift N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell mit Markov-modulierter Drift. Die als Drift bezeichnete mittlere Aktienrendite wird dabei durch eine zeitstetige Markovkette modelliert, welche nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Schätzungen, die aus Beobachtungen der Aktienpreise gewonnen werden, besitzen oft nur eine unbefriedigende Genauigkeit, da Drifteffekte in den Aktienpreisen in der Regel von einer hohen Volatilität überlagert werden. Aus diesem Grunde versucht man zusätzliche Informationsquellen wie z.B. Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Empfehlungen von Finanzanalysten, Bewertungen von Ratingagenturen und die eigene intuitive Einschätzung der künftigen Preisentwicklung in die Schätzungen einzubeziehen. Diese als Expertenmeinungen bezeichneten Informationen werden mit den Aktienpreisbeobachtungen kombiniert, um eine verbesserte Driftschätzung und damit eine bessere Performance der darauf aufbauenden optimalen Portfoliostrategien zu erzielen. Dieser Ansatz kann als eine zeitstetige Version des aus der Literatur bekannten statischen Black-Litterman-Modells betrachtet werden. Die mathematische Modellierung der Expertenmeinungen erfolgt mit Hilfe eines markierten Punktprozesses, dessen Sprunghöhenverteilung vom Zustand der nicht beobachtbaren Markovkette abhängt. In der vorliegenden Arbeit wird insbesondere ein Nutzenmaximierungsproblem für den Power-Nutzen betrachtet. Dies führt auf ein stochastisches optimales Steuerungsproblem unter unvollständiger Information, für welches die zugehörige Dynamic Programming Equation (DPE) für die Wertfunktion hergeleitet wird. Aus deren Lösung kann die optimale Anlagestrategie abgeleitet werden. Die DPE ist eine partielle Integro-Differentialgleichung, für deren Lösung verschiedene Näherungsverfahren untersucht werden. Den Schwerpunkt bilden dabei explizite und semi-implizite Differenzenverfahren, bei welchen der Differentialoperator der DPE mit finiten Differenzen und der Integraloperator mit Quadraturformeln diskretisiert wird. Für das explizite Verfahren wird ein Konvergenzbeweis angegeben. Als weitere Näherungsverfahren kommen ein Policy-Improvement-Verfahren und die Monte- Carlo-Methode zum Einsatz. Die genannten Verfahren wurden implementiert und die Arbeit präsentiert Ergebnisse zu den durchgeführten numerischen Experimenten. Im letzten Teil der Arbeit werden schließlich Diffusionsapproximationen für hochfrequente zeitdiskrete Expertenmeinungen betrachtet. Dazu wird insbesondere der Integraloperator der DPE für gegen unendlich strebende Intensität des Eintreffens der Expertenmeinungen untersucht. Die erhaltene Asymptotik erlaubt einerseits die Approximation der zeitdiskreten Experten durch einen als zeitstetigen Experten bezeichneten Diffusionsprozess und ist andererseits die Grundlage für ein weiteres Näherungsverfahren zur Lösung des Nutzenmaximierungsproblemes. N2 - This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a market with Markov-modulated drift. The drift is modelled as a function of a continuous-time Markov chain with initely many states which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Drift estimates based on asset price observations usually suffer from a quite poor accuracy since drift effects are overshadowed by a high volatility. Therefore, practitioners rely also on external sources of information such as news, company reports, ratings and on their own intuitive views when determining drift estimates. These outside sources of information are called expert opinion and combined with asset price observations to improve the drift estimate and the performance of portfolio strategies. That procedure can be seen as a continuous-time version of the classical Black-Litterman approach. The expert opinions are modelled by a marked point process with jump-size distribution depending on the current state of the hidden factor process. We focus on the portfolio selection problem for power utility and study the associated stochastic optimal control problem under partial information for which we derive the corresponding dynamic programming equation (DPE) for the value function. Solving the DPE then allows to compute optimal portfolio strategies. The DPE is a nonlinear partial integro differential equation which we solve by using various numerical methods. The focus is on explicit and semi-implizit difference schemes. Here, the differential operator is discretized by finite differences and the integral operator by quadrature rules. For the explicit case a convergence proof is given. As an alternative we solve the control problem using the policy improvement method and Monte Carlo methods. Numerical results are presented. Finally, we investigate diffusion approximations for high-frequency discrete-time expert opinions. For this purpose we study the limiting behavior of the integral operator in the DPE for increasing arrival intensity of the expert opinions. Based on these asymptotic results the high-frequency discrete-time expert is approximated by a continuous-time expert modelled by a diffusion process. This allows to derive an additional method to solve the utility maximization problem numerically. KW - Portfoliooptimierung KW - Partielle Information KW - Expertenmeinung KW - Diffusionsapproximation KW - Portfolio optimization KW - Diffusion approximation KW - PIDE KW - Expert opinion KW - Partial information KW - Diffusionsapproximation KW - Partielle Information KW - Portfoliomanagement KW - Optimierung Y1 - 2015 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-39660 ER - TY - THES A1 - Ouabo Kamkumo, Florent T1 - Stochastic epidemic models with partial information and dark figure estimation T1 - Stochastische Epidemiemodelle mit partieller Information und Schätzung der Dunkelziffer N2 - This thesis presents a novel stochastic modeling framework for epidemic dynamics, focusing on the challenges posed by non-observable states and the gradual decline of immunity, as revealed by the Covid-19 pandemic. Our research develops an extended compartmental model that incorporates sequences of cascade states to accurately represent the progressive loss of immunity after vaccination or recovery. This model, rooted in a non-homogeneous continuous-time Markov chain and approximated by a diffusion process, facilitates efficient computation. The resulting dynamics exhibit non-linearities in both the drift and diffusion coefficients, making the process of hidden state estimation particularly challenging. These complexities highlight the need for advanced techniques to accurately capture and predict the system's behavior under partial observability. A novel approach using cascade states is introduced to tackle the issue of partially hidden compartments where either inflow or outflow is observed, but not both. By leveraging information from observed transitions, this method significantly enhances model accuracy. The framework also enables the application of advanced filtering techniques, particularly the Extended Kalman Filter (EKF), for estimating both hidden epidemic states and time-varying parameters. This allows for calibrating based on real data, ensuring robust and accurate predictions. Furthermore, this thesis extends the methodology to multi-group (multi-patch) models, capturing the complexities of heterogeneous population dynamics. This includes factors such as mobility, super-spreader events, and accounting for partial information. By incorporating these elements, the model provides a more comprehensive understanding of epidemic spread across diverse and interconnected populations. To address the curse of dimensionality often encountered in high-dimensional filtering problems, a modified EKF based on a reduced-order EKF is introduced, leveraging a low-rank approximation of the covariance matrix. This reduced-order EKF allows for stable and efficient estimation of hidden states even with limited computational resources. Finally, the work explores parameter estimation within the partial information context, employing both likelihood-based inference and state augmentation techniques. Numerical experiments demonstrate the model's ability to accurately reproduce observed Covid-19 dynamics in Germany, highlighting its potential for informing public health strategies and managing future outbreaks. This work offers a robust and adaptable framework for understanding and predicting the spread of infectious diseases. N2 - Diese Dissertation präsentiert innovative stochastische Modellierungsansätze für den Verlauf von Epidemien, die den Herausforderungen begegnen, die durch nicht direkt beobachtbare Zustände und den schrittweisen Rückgang der Immunität entstehen – wie sie durch die Covid-19-Pandemie offenkundig wurden. Entwickelt wird ein erweitertes Kompartimentmodell, das kaskadenartige Zustände nutzt, um den graduellen Verlust der Immunität nach Impfung oder Genesung präzise abzubilden. Das Modell basiert auf einer inhomogenen kontinuierlichen Markov-Kette und wird durch einen Diffusionsprozess approximiert, was effiziente Berechnungen ermöglicht. Die resultierenden Dynamiken enthalten Nichtlinearitäten in Drift- und Diffusionskoeffizienten, wodurch die Schätzung nicht beobachtbarer Zustände besonders anspruchsvoll wird. Diese Komplexität unterstreicht die Notwendigkeit neuer Techniken, um das Verhalten des Systems bei unvollständiger Beobachtbarkeit adäquat erfassen und vorhersagen zu können. Ein neuer Ansatz mit kaskadenartigen Zuständen adressiert das Problem teilweise unbeobachtbarer Kompartimente, bei denen nur Zu- oder Abflüsse, nicht aber beide gleichzeitig messbar sind. Durch die Nutzung von Informationen aus beobachteten Übergängen wird die Modellgenauigkeit erheblich gesteigert. Zudem eröffnet dieser Ansatz den Einsatz von Methoden der Filtertheorie, insbesondere des erweiterten Kalman-Filters (EKF), um nicht beobachtbare Epidemiezustände (z.B. undokumentierte Infektionen) sowie zeitvariable Modellparameter zu schätzen. Damit wird eine Kalibrierung anhand realer Daten möglich, die robuste und verlässliche Vorhersagen erlaubt. Darüber hinaus wird die Methodik auf Mehrgruppen- (Multi-Patch-) Modelle ausgeweitet, um die Dynamik heterogener Populationen abzubilden. Faktoren wie Mobilität, Super-Spreader-Ereignisse und unvollständig beobachtbare Zustände werden integriert, sodass ein umfassenderes Verständnis der Ausbreitung in unterschiedlichen und vernetzten Bevölkerungsgruppen entsteht. Zur Bewältigung des Fluchs der Dimensionalität, wie er bei hochdimensionalen Filterproblemen auftritt, wird ein modifizierter EKF vorgestellt. Dieser basiert auf einem EKF reduzierter Ordnung, der eine Niedrigrang Approximation der Kovarianzmatrix nutzt. So gelingt eine robuste und effiziente Approximation verborgener Zustände auch unter limitierten Rechenressourcen. Schließlich widmet sich die Arbeit der Parameterschätzung unter unvollständiger Information. Hierbei werden Maximum-Likelihood-Methoden sowie zustandserweiterte Kalman-Filter eingesetzt. Numerische Experimente belegen, dass das Modell die beobachteten Covid-19-Dynamiken in Deutschland präzise erfasst und ein hohes Potenzial zur Unterstützung von Gesundheitsstrategien sowie beim Management künftiger Ausbrüche bietet. Insgesamt stellt die Dissertation robuste und flexible Modelle und Methoden bereit, die wesentlich zum Verständnis und zur Vorhersage der Ausbreitung von Infektionskrankheiten beitragen. KW - Compartmental model KW - Stochastic model KW - Partial information KW - Extended Kalman filter KW - Parameter estimation KW - Kompartimentmodell KW - Stochastisches Modell KW - Teilinformationen KW - Erweiterter Kalman Filter KW - Parameterschätzung KW - Stochastische optimale Kontrolle KW - Kompartimentmodell KW - Kalman-Filter KW - Partielle Information Y1 - 2025 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71976 ER -