TY - THES A1 - Mehlitz, Patrick T1 - On implicit variables and related topics in mathematical optimization T1 - Über implizite Variablen und verwandte Themen in der Optimierungstheorie N2 - This thesis is concerned with the phenomenon of implicit variables in optimization theory. Roughly speaking, a variable is called implicit whenever it is used to model the feasible set but does not appear in the objective function. At the first glance, such variables seem to be less relevant for the purpose of optimization. First, we provide a theoretical study on optimization problems with implicit variables. Therefore, we rely on a model program which covers several interesting problem classes from optimization theory such as bilevel optimization problems, evaluated multiobjective optimization problems, or optimization problems with cardinality constraints. We start our analysis by clarifying that the interpretation of implicit variables as explicit ones induces additional local minimizers. Afterwards, we study three reasonable stationarity systems of Mordukhovich-stationarity-type for the original problem as well as some comparatively weak associated constraint qualifications. The obtained results are applied to the three example classes mentioned above. Second, we introduce switching- and or-constrained optimization problems. Exploiting the observation that each or-constrained optimization problem can be transferred into a switching-constrained optimization problem with the aid of slack variables, one can interpret or-constrained programs as optimization problems comprising implicit variables. Necessary optimality conditions and constraint qualifications for both problem classes are derived. Furthermore, some approaches for the numerical solution of both problem classes are discussed and results of computational experiments are presented. The shortcomings of implicit variables are highlighted in terms of or-constrained optimization. Third, we study three different scenarios where optimality conditions and constraint qualifications for challenging optimization problems can be constructed while abstaining from the introduction of implicit variables. We start by deriving a generalized version of the linear independence constraint qualification as well as second-order necessary and sufficient optimality conditions for so-called disjunctive optimization problems, which cover several interesting but inherently irregular problem classes like mathematical programs with complementarity, switching, or-, and cardinality constraints. Afterwards, we exploit several different single-level reformulations of standard bilevel optimization problems in order to find first- and second-order sufficient optimality conditions. Finally, we study sequential stationarity and regularity conditions for nonsmooth mathematical problems with generalized equation constraints with the aid of the popular limiting variational analysis. The investigated model problem covers the one we use for the theoretical analysis of implicit variables. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Phänomen impliziter Variablen in der Optimierungstheorie. Eine Variable wird hierbei als implizit bezeichnet, wenn sie zur Modellierung der zulässigen Menge genutzt wird, nicht aber in der Zielfunktion auftaucht. Auf den ersten Blick wirken solche Variablen als wenig relevant im Hinblick auf den eigentlichen Optimierungsprozess. Im ersten Teil der Arbeit wird eine theoretische Analyse von Optimierungsproblemen mit impliziten Variablen durchgeführt. Hierzu wird ein abstraktes Modell betrachtet, welches eine Vielzahl interessanter Problemklassen der Optimierungstheorie wie hierarchische Probleme, bewertete Vektoroptimierungsprobleme oder Optimierungsaufgaben mit Kardinalitätsbeschränkungen abdeckt. Zuerst wird gezeigt, dass die Interpretation von impliziten als explizite Variablen zusätzliche lokale Optimallösungen induziert. Danach werden drei Stationaritätssysteme vom Mordukhovich-Typ des Originalproblems sowie vergleichsweise schwache, zugehörige Regularitätsbedingungen untersucht. Abschließend werden die erhaltenen Resultate auf die oben genannten Problemklassen angewandt. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit Optimierungsaufgaben über Umschalt- und Oder-Beschränkungen. Beachtet man, dass jedes Oder-beschränkte Optimierungsproblem unter Verwendung von Schlupfvariablen in ein Problem mit Umschaltbeschränkungen überführt werden kann, so ist klar, dass Oder-beschränkte Probleme als Optimierungsaufgaben mit impliziten Variablen angesehen werden können. Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für beide Problemklassen werden hergeleitet. Außerdem werden Ansätze zur numerischen Lösung beider Problemklassen sowie Ergebnisse von Testrechnungen vorgestellt. Die Nachteile impliziter Variablen werden anhand von Oder-beschränkten Problemen illustriert. Anhand von drei verschiedenen Szenarien wird im dritten Teil der Arbeit aufgezeigt, wie Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für komplizierte Optimierungsaufgaben auch ohne die Einführung impliziter Variablen gewonnen werden können. Zunächst werden eine verallgemeinerte Form der Bedingung LICQ sowie Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für disjunktive Probleme wie komplementaritäts- oder kardinalitätsbeschränkte Aufgaben hergeleitet. Anschließend werden verschiedene Umformulierungen von Zwei-Ebenen-Optimierungsaufgaben verwendet, um hinreichende Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung abzuleiten. Mithilfe der Variationsanalysis werden zuletzt sequentielle Stationaritäts- und Regularitätsbedingungen für nichtglatte Optimierungsaufgaben über verallgemeinerten Gleichungen untersucht. Das betrachtete Model umfasst hierbei auch jenes, welches zur abstrakten Analyse impliziter Variablen genutzt wurde. KW - Mathematical optimization KW - Implicit variables KW - Optimality conditions KW - Constraint qualifications KW - Variational analysis KW - Mathematische Optimierung KW - Implizite Variablen KW - Optimalitätsbedingungen KW - Regularitätsbedingungen KW - Variationsanalysis KW - Optimierung KW - Variable KW - Optimalitätsbedingung KW - Regularität KW - Variationsrechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55291 ER - TY - THES A1 - Harder, Felix T1 - On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces T1 - Über Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen N2 - In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting. Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied. We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments. The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory. N2 - In dieser Arbeit werden Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen betrachtet. Insbesondere sind wir an notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für solche Optimierungsprobleme interessiert. Wir studieren Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme sowohl in abstrakten Banachräumen als auch in konkreteren Situationen. So betrachten wir etwa die optimale Steuerung des Hindernisproblems, welches ein typisches Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem in Sobolevräumen ist, sowie auch eine Klasse von inversen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wenden wir unsere Ergebnisse aus den Betrachtungen in abstrakten Banachräumen an, um Optimalitätsbedingungen zu zeigen. Der Ansatz, um Optimalitätsbedingungen in der abstrakten Situation herzuleiten, benutzt die Relaxierung einer Reformulierung des Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems, welche auf der Optimalwertfunktion basiert. Dabei führen wir auch die sogenannten normalkegelerhaltenden Operatoren ein und zeigen, wie dieses Konzept zur Anwendung kommt. Wir gehen auch auf andere Themen, die in diesem Zusammenhang auftreten, ein. So wird der sogenannte „llimiting normal cone“ zu einer Komplementaritätsmenge in Sobolevräumen betrachtet. Diese Komplementaritätsmenge spielt eine zentrale Rolle für die optimale Steuerung des Hindernisproblems. Der „llimiting normal cone“ ist ein Konzept, welches in der variationellen Analysis vorkommt und den gewöhnlichen Normalkegel aus der konvexen Analysis verallgemeinert. Ebenfalls untersucht wird die Fragestellung, in welchen Räumen Legendre-Formen und Legendre-*-Formen existieren können. Es wird gezeigt, dass die Existenz von Legendre-*-Formen in einem reflexiven Banachraum oder einem Raum mit einem separablen Prädualraum impliziert, dass diese Räume bereits isomorph zu einem Hilbertraum sind. Wir betrachten auch eine Diskretisierung eines Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems in Lebesgueräumen. Dabei werden sowohl Fehlerschätzungen gezeigt als auch numerische Experimente präsentiert. Die erhaltenen neuen Resultate in dieser Arbeit werden mit Beispielen und Gegenbeispielen bereichert. Damit die Themen in einer in sich abgeschlossenen Form präsentiert werden können, werden auch bereits bekannte Konzepte eingeführt und grundlegende Eigenschaften diskutiert. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf die Kapazitätstheorie gelegt. KW - Bilevel optimization KW - Optimality conditions KW - Optimal control KW - Inverse optimal control KW - Obstacle problem KW - Zwei-Ebenen-Optimierung KW - Optimalitätsbedingungen KW - Optimale Steuerung KW - Inverse optimale Steuerung KW - Hindernisproblem KW - Optimale Kontrolle KW - Hindernisproblem KW - Optimalitätsbedingung KW - Zwei-Ebenen-Optimierung Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755 ER -