TY - THES A1 - Mehlitz, Patrick T1 - On implicit variables and related topics in mathematical optimization T1 - Über implizite Variablen und verwandte Themen in der Optimierungstheorie N2 - This thesis is concerned with the phenomenon of implicit variables in optimization theory. Roughly speaking, a variable is called implicit whenever it is used to model the feasible set but does not appear in the objective function. At the first glance, such variables seem to be less relevant for the purpose of optimization. First, we provide a theoretical study on optimization problems with implicit variables. Therefore, we rely on a model program which covers several interesting problem classes from optimization theory such as bilevel optimization problems, evaluated multiobjective optimization problems, or optimization problems with cardinality constraints. We start our analysis by clarifying that the interpretation of implicit variables as explicit ones induces additional local minimizers. Afterwards, we study three reasonable stationarity systems of Mordukhovich-stationarity-type for the original problem as well as some comparatively weak associated constraint qualifications. The obtained results are applied to the three example classes mentioned above. Second, we introduce switching- and or-constrained optimization problems. Exploiting the observation that each or-constrained optimization problem can be transferred into a switching-constrained optimization problem with the aid of slack variables, one can interpret or-constrained programs as optimization problems comprising implicit variables. Necessary optimality conditions and constraint qualifications for both problem classes are derived. Furthermore, some approaches for the numerical solution of both problem classes are discussed and results of computational experiments are presented. The shortcomings of implicit variables are highlighted in terms of or-constrained optimization. Third, we study three different scenarios where optimality conditions and constraint qualifications for challenging optimization problems can be constructed while abstaining from the introduction of implicit variables. We start by deriving a generalized version of the linear independence constraint qualification as well as second-order necessary and sufficient optimality conditions for so-called disjunctive optimization problems, which cover several interesting but inherently irregular problem classes like mathematical programs with complementarity, switching, or-, and cardinality constraints. Afterwards, we exploit several different single-level reformulations of standard bilevel optimization problems in order to find first- and second-order sufficient optimality conditions. Finally, we study sequential stationarity and regularity conditions for nonsmooth mathematical problems with generalized equation constraints with the aid of the popular limiting variational analysis. The investigated model problem covers the one we use for the theoretical analysis of implicit variables. N2 - Diese Arbeit befasst sich mit dem Phänomen impliziter Variablen in der Optimierungstheorie. Eine Variable wird hierbei als implizit bezeichnet, wenn sie zur Modellierung der zulässigen Menge genutzt wird, nicht aber in der Zielfunktion auftaucht. Auf den ersten Blick wirken solche Variablen als wenig relevant im Hinblick auf den eigentlichen Optimierungsprozess. Im ersten Teil der Arbeit wird eine theoretische Analyse von Optimierungsproblemen mit impliziten Variablen durchgeführt. Hierzu wird ein abstraktes Modell betrachtet, welches eine Vielzahl interessanter Problemklassen der Optimierungstheorie wie hierarchische Probleme, bewertete Vektoroptimierungsprobleme oder Optimierungsaufgaben mit Kardinalitätsbeschränkungen abdeckt. Zuerst wird gezeigt, dass die Interpretation von impliziten als explizite Variablen zusätzliche lokale Optimallösungen induziert. Danach werden drei Stationaritätssysteme vom Mordukhovich-Typ des Originalproblems sowie vergleichsweise schwache, zugehörige Regularitätsbedingungen untersucht. Abschließend werden die erhaltenen Resultate auf die oben genannten Problemklassen angewandt. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit Optimierungsaufgaben über Umschalt- und Oder-Beschränkungen. Beachtet man, dass jedes Oder-beschränkte Optimierungsproblem unter Verwendung von Schlupfvariablen in ein Problem mit Umschaltbeschränkungen überführt werden kann, so ist klar, dass Oder-beschränkte Probleme als Optimierungsaufgaben mit impliziten Variablen angesehen werden können. Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für beide Problemklassen werden hergeleitet. Außerdem werden Ansätze zur numerischen Lösung beider Problemklassen sowie Ergebnisse von Testrechnungen vorgestellt. Die Nachteile impliziter Variablen werden anhand von Oder-beschränkten Problemen illustriert. Anhand von drei verschiedenen Szenarien wird im dritten Teil der Arbeit aufgezeigt, wie Optimalitäts- und Regularitätsbedingungen für komplizierte Optimierungsaufgaben auch ohne die Einführung impliziter Variablen gewonnen werden können. Zunächst werden eine verallgemeinerte Form der Bedingung LICQ sowie Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für disjunktive Probleme wie komplementaritäts- oder kardinalitätsbeschränkte Aufgaben hergeleitet. Anschließend werden verschiedene Umformulierungen von Zwei-Ebenen-Optimierungsaufgaben verwendet, um hinreichende Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung abzuleiten. Mithilfe der Variationsanalysis werden zuletzt sequentielle Stationaritäts- und Regularitätsbedingungen für nichtglatte Optimierungsaufgaben über verallgemeinerten Gleichungen untersucht. Das betrachtete Model umfasst hierbei auch jenes, welches zur abstrakten Analyse impliziter Variablen genutzt wurde. KW - Mathematical optimization KW - Implicit variables KW - Optimality conditions KW - Constraint qualifications KW - Variational analysis KW - Mathematische Optimierung KW - Implizite Variablen KW - Optimalitätsbedingungen KW - Regularitätsbedingungen KW - Variationsanalysis KW - Optimierung KW - Variable KW - Optimalitätsbedingung KW - Regularität KW - Variationsrechnung Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55291 ER - TY - THES A1 - Marko, Jonas T1 - Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation T1 - Optimal control problems with total variation N2 - Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Gebäuden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften für die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß dafür darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas über deren Änderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu Lösungen führen, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsmöglichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann für viele Probleme die Existenz einer Optimallösung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer Lösung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen Lösungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften für vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur für ein Problem konnten zufriedenstellende Lösungen berechnet werden. Allerdings ist es möglich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu übertragen. N2 - Optimal control problems have an abundance of applications, for example in shape optimization, in energy management of buildings or in network transport problems. The goal is to control a system in a way that a certain value is minimized or maximized, as for instance its energy consumption. Often, it is also desirable to obtain certain qualitative properties for the control function itself. In this sense, we investigate the total variation, which measures how much a function varies, roughly speaking it indicates a functions change behaviour. Penalizing large variations in the control should lead to solutions that are easier to implement in practice. However, such a procedure also has other advantages and possible applications in mathematical modelling; the existence of an optimal solution for example can be guaranteed for many problems if the total variation is used as a regularization term. The master thesis investigates a general problem class of such optimization problems. In addition to proving the existence of a solution, the objective function was examined for differentiability and the findings were used to construct a solution algorithm based on the proximal gradient method and Bellman's optimality principle. After proving some convergence properties for sequences constructed by the algorithm, it was tested on two problem instances. Satisfactory solutions could only be calculated for one problem. However, it is possible to transfer the ideas of the method to other promising algorithms. KW - Optimale Steuerung KW - Totalvariation KW - Total variation KW - Optimal control KW - Optimale Kontrolle KW - Funktion von beschränkter Variation Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717 ER -