TY - RPRT A1 - Kahra, Marvin A1 - Breuß, Michael T1 - Properties of morphological dilation in max-plus and plus-prod algebra in connection with the Fourier transformation T1 - Eigenschaften der morphologischen Dilatation in Max-Plus- und Plus-Prod-Algebra in Verbindung mit der Fourier-Transformation N2 - The basic filters in mathematical morphology are dilation and erosion. They are defined by a structuring element that is usually shifted pixel-wise over an image, together with a comparison process that takes place within the corresponding mask. This comparison is made in the grey value case by means of maximum or minimum formation. Hence, there is easy access to max-plus algebra and, by means of an algebra change, also to the theory of linear algebra. We show that an approximation of the maximum function forms a commutative semifield (with respect to multiplication) and corresponds to the maximum again in the limit case. In this way, we demonstrate a novel access to the logarithmic connection between the Fourier transform and the slope transformation. In addition, we prove that the dilation by means of a Fast Fourier Transform depends only on the size of the structuring element used. Moreover, we derive a bound above which the Fourier approximation yields results that are exact in terms of grey value quantization. N2 - Die grundlegenden Filter der mathematischen Morphologie sind Dilatation und Erosion. Sie sind definiert durch ein strukturierendes Element, das in der Regel pixelweise über ein Bild geschoben wird, sowie einen Vergleichsprozess, der innerhalb der entsprechenden Maske stattfindet. Dieser Vergleich erfolgt im Grauwertfall durch Maximum- oder Minimumbildung. Damit besteht ein einfacher Zugang zur Max-Plus-Algebra und durch eine Algebra-Umstellung auch zur Theorie der linearen Algebra. Wir zeigen, dass eine Approximation der Maximumfunktion einen kommutativen Halbkörper (in Bezug auf die Multiplikation) bildet und im Grenzfall wieder dem Maximum entspricht. Auf diese Weise zeigen wir einen neuartigen Zugang zum logarithmischen Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der Steigungstransformation. Außerdem beweisen wir, dass die Dilatation mittels einer schnellen Fourier-Transformation nur von der Größe des verwendeten Strukturelements abhängt. Darüber hinaus leiten wir eine Schranke ab, oberhalb derer die Approximation exakte Ergebnisse in Bezug auf die Grauwertquantisierung liefert. KW - Mathematical morphology KW - Fourier transform KW - Dilation KW - Max-plus algebra KW - Slope transform KW - Mathematische Morphologie KW - Fourier-Transformation KW - Dilatation KW - Max-Plus-Algebra KW - Steigungstransformation KW - Dilatation KW - Fourier-Transformation KW - Mathematische Morphologie Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-58483 ER - TY - THES A1 - Kahra, Marvin T1 - Maximumprinzipien für harmonische Abbildungen in Riemann’schen Mannigfaltigkeiten T1 - Maximum principles for harmonic mappings in Riemannian manifolds N2 - Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen des Dirichlet-Problems für harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von Jäger und Kaul dar, welches durch Abschätzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen Hülle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann’schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geodätischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache Überdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung gewährleistet. Diese Aussage lässt sich in dem Sinne erweitern, dass die Lösung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus über das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich führen wir diese Methode am Beispiel der Poincaré’schen Halbebene vor. N2 - The concept of the maximum principle represents a special property of solutions of certain differential equations. It is basically the property that the (global) maximum is assumed to be at the boundary of the domain of definition of the figure that satisfies the maximum principle. The greatest application of the maximum principle is in the uniqueness and stability of the solutions of Dirichlet problems, which is the subject of this work. For this purpose, some basic assumptions concerning two-dimensional Riemannian manifolds and their metrics are used to obtain estimates for Jacobi fields. In doing so, the Jacobi fields are split into a tangent and a normal part and, in particular, the normal part is restricted both from below and from above, resulting in a restriction of the Riemannian metric for arbitrary two-dimensional vectors. These estimates form the cornerstone for the application of the direct variational method of Hildebrandt, Kaul and Widman to the case of a circular disk in a Riemannian manifold. A weak existence statement concerning the minimisation problem of the energy functional is shown, which does not require any further regularity assumptions, and is then extended to weakly harmonic mappings with prescribed boundary values. A further result presents the uniqueness and stability of solutions of the Dirichlet problem for harmonic mappings in the form of the maximum principle of Jäger and Kaul, which is obtained by estimates of Jacobi fields. As an alternative approach to this, the maximum principle of the convex hull is presented in this paper. The most important differences are that here a stable Riemannian domain is assumed and by means of this a family of geodesics is considered, which form a simple overlap of the circular disk in the form of a central field. Furthermore, this method guarantees the uniqueness of the Dirichlet solution. This statement can be extended in the sense that, under appropriate conditions on the metric, the solution is a C^(2+α)-diffeomorphism over the entire domain. Finally, we demonstrate this method on the example of Poincaré's half-plane. KW - Maximumprinzip KW - Mannigfaltigkeit KW - Harmonische Abbildung KW - Maximum principle KW - Manifold KW - Harmonic mapping KW - Mannigfaltigkeit KW - Maximumprinzip KW - Harmonische Abbildung KW - Partielle Differentialgleichung KW - Dirichlet-Problem Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889 ER -