TY - THES A1 - Bähr, Martin T1 - Efficient time integration methods for linear parabolic partial differential equations with applications T1 - Effiziente Zeitintegrationsverfahren für lineare parabolische partielle Differentialgleichungen mit Anwendungen N2 - In this thesis we study efficient time integration methods for linear parabolic PDEs to solve practical problems that arise in a variety of real-world applications. The classical construction of numerical methods for solving PDEs is based on the method of lines, which leads to a large sparse semi-discretised system of ODEs to which any numerical method for initial value ODE problems can be applied. When dealing with parabolic-type problems, the underlying ODE systems are known to be stiff. Therefore, in the context of linear model problems, the use of implicit schemes is usually considered to be the best choice in practice. However, this statement is not correct for some relevant real-world applications. In particular, implicit schemes can cause high computational costs that are equipped with certain model conditions. The model problems considered here are coupled with various settings, ranging from many different initial conditions over long-term simulation with relatively frequent model updates, to dealing with very large-scale problems for which the matrix size can exceed several millions. For this reason, we are interested in sophisticated and computationally efficient numerical methods that bring the aspects of approximation accuracy as well as computational and storage complexity into balance. Even nowadays it is still a challenging task to devise a numerical method that combines high accuracy, robustness and computational efficiency for the model problem to be solved. Therefore, the main objective is to find an easy and efficient ODE integration scheme for each individual model problem. On this basis, we first give a comprehensive introduction to the state-of-the-art methods that are often used for practical purposes. In this framework, we will investigate very detailed the theoretical and numerical foundations of two popular techniques, namely the fast explicit methods and the model order reduction techniques. This is primarily important in order to fully understand the numerical methods, and also absolutely essential in finding the best numerical method that is specifically suitable for the intended purpose. Our second goal is then to efficiently solve the practical problems that arise in connection with shape correspondence, geothermal energy storage and image osmosis filtering. For each application we specify a complete setup, and in order to provide an efficient and accurate numerical approximation, we give a thorough discussion of the various numerical solvers along with many technical details and own adaptations. We validate our numerical findings through many experiments using synthetic and real-world data. In addition, the thesis provides a complete and detailed description of the powerful methods that can be very useful for tackling similar problems that are the subject of interest in many applications. N2 - In dieser Arbeit untersuchen wir effiziente Zeitintegrationsmethoden für lineare parabolische PDEs, um praktische Probleme zu lösen, die in einer Vielzahl von realen Anwendungen auftreten. Die klassische Konstruktion von numerischen Methoden zur Lösung von PDEs basiert auf der Linienmethode, die zu einem großen, dünnbesetzten und halbdiskretisierten System ODEs führt, auf das anschließend jede numerische Methode für die Lösung eines Anfangswertproblems angewendet werden kann. Bei parabolischen Problemen ist bekannt, dass die zugrunde liegenden ODE-Systeme steif sind. Daher wird im Zusammenhang mit linearen Modellproblemen die Verwendung impliziter Methoden in der Praxis normalerweise als die beste Wahl angesehen. Diese Aussage ist jedoch für einige relevante Anwendungen nicht richtig. Insbesondere können implizite Methoden hohe Rechenkosten verursachen, die mit bestimmten Modellbeschränkungen verbunden sind. Die hier betrachteten Modellprobleme sind mit verschiedenen Einstellungen verbunden, die von vielen unterschiedlichen Anfangsbedingungen über die Langzeitsimulation mit relativ häufigen Modellupdates bis hin zur Behandlung sehr großer Probleme reichen, bei denen die Matrixgröße mehrere Millionen überschreiten kann. Deswegen sind wir an ausgefeilten und rechnerisch effizienten numerischen Methoden interessiert, die die Aspekte der Approximationsgenauigkeit sowie der Rechen- und Speicherkomplexität in Einklang bringen. Es ist auch heute noch eine herausfordernde Aufgabe, eine numerische Methode zu konzipieren, die hohe Genauigkeit, Robustheit und Recheneffizienz kombiniert. Das Hauptziel besteht darin, ein simples und effizientes ODE-Integrationsschema für jedes Modellproblem zu finden. Zunächst geben wir eine umfassende Einführung in die modernsten Methoden, die oft für praktische Zwecke eingesetzt werden. In diesem Rahmen werden wir die theoretischen und numerischen Grundlagen zweier populärer Techniken sehr detailliert untersuchen, nämlich die schnellen expliziten Methoden und die Modellordnungsreduktionstechniken. Das ist wichtig, um die Verfahren vollständig zu verstehen und die beste numerische Methode zu finden, die speziell für den beabsichtigten Zweck geeignet ist. Das zweite Ziel ist dann, die praktischen Probleme im Zusammenhang mit Formkorrespondenz, geothermischer Energiespeicherung und osmosebasierte Bildverarbeitung effizient zu lösen. Für jede Anwendung geben wir einen vollständigen Aufbau an. Um eine effiziente genaue numerische Approximation bereitzustellen, werden die numerischen Löser zusammen mit vielen technischen Details und eigenen Anpassungen ausführlich erläutert. Wir validieren unsere numerischen Resultate durch Experimente mittels synthetischer und realer Daten. Außerdem bietet die Arbeit eine vollständige und detaillierte Beschreibung der leistungsstarken Methoden, die sehr nützlich sein können, um ähnliche Probleme anzugehen, die in vielen Anwendungen von Interesse sind. KW - Parabolic equations KW - Time integration methods KW - Fast explicit methods KW - Model order reduction KW - Visual computing KW - Parabolische Gleichungen KW - Zeitintegrationsverfahren KW - Schnelle explizite Verfahren KW - Modellordnungsreduktion KW - Lineare parabolische Differentialgleichung KW - Modellordnungsreduktion KW - Zeitintegrationsverfahren Y1 - 2021 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-57532 ER -