TY - THES A1 - Szerement, Claudia T1 - Lösung des Dirichletproblems für G-minimale Graphen mit einer Kontinuitäts- und Approximationsmethode T1 - Solution of the Dirichlet problem for G-minimal graphs with a continuity and approximation method N2 - Wir betrachten das Dirichletproblem für sogenannte $G$-minimale Graphen in zwei Dimensionen. Dies sind Immersionen vom Minimalflächentyp, welche sich als Graph über einem ebenen Gebiet darstellen lassen. Mit Hilfe einer Gewichtsmatrix $G$ leiten wir eine quasilineare, elliptische und homogene Differentialgleichung für diese Höhenfunktion her. Dann lösen wir das Dirichletproblem auf konvexen Gebieten $\Omega$ ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen zu stetigen Randdaten mit einer konstruktiven Kontinuitäts- und Approximationsmethode. Dabei leiten wir zunächst eine a priori $C^{1+\alpha}$-Abschätzung der Lösung bis zum Rand her, indem wir uns auf die dichte Problemklasse von strikt konvexen $C^{2+\alpha}$-Gebieten und $C^{2+\alpha}$-Randdaten zurückziehen. Mit einem Satz über die Graphenstabilität und -kompaktheit lösen wir dieses Randwertproblem durch eine nichtlineare Kontinuitätsmethode. Anschließend führen wir gewichtet konforme Parameter in den Graphen ein und betrachten das parametrische Problem auf der Einheitskreisscheibe. Mit einem Approximationsargument und einem parametrischen Kompaktheitssatz lösen wir schließlich das ursprüngliche Dirichletproblem. N2 - We consider the Dirichlet problem for so-called $G$-minimal graphs in two dimensions. This are immersions of minimal surface type which can be presented as graphs over a planar domain. With the aid of a weight matrix $G$ we derive a quasilinear elliptic and homogen differential equation for this height function. Then we solve the Dirichlet problem over convex domains $\Omega$ without differentiability assumptions and continuous boundary data with a constructive continuity and approximation method. We first derive an a priori $C^{1+\alpha}$-estimate up to the boundary of the solution as we take the dense problem class of strictly convex $C^{2+\alpha}$-domains and $C^{2+\alpha}$-boundary data. By proving theorems on graph stability and graph compactness we solve this boundary value problem with a nonlinear continuity method. Then we introduce weighted conformal parameters in the graph and consider the parametric problem on the unit disk. Finally, we solve the original Dirichlet problem by using an approximation argument and the important parametric compactness theorem. KW - Dirichlet-Problem KW - Minimalfläche KW - Approximation KW - Graphen vom Minimalflächentyp KW - Dirichletproblem KW - Kontinuitätsmethode KW - Gewichtete Differentialgeometrie KW - Graphs of minimal surface type KW - Dirichlet problem KW - Continuity method KW - Weighted differential geometry Y1 - 2011 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus-22088 ER - TY - THES A1 - Kahra, Marvin T1 - Maximumprinzipien für harmonische Abbildungen in Riemann’schen Mannigfaltigkeiten T1 - Maximum principles for harmonic mappings in Riemannian manifolds N2 - Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen des Dirichlet-Problems für harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von Jäger und Kaul dar, welches durch Abschätzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen Hülle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann’schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geodätischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache Überdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung gewährleistet. Diese Aussage lässt sich in dem Sinne erweitern, dass die Lösung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus über das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich führen wir diese Methode am Beispiel der Poincaré’schen Halbebene vor. N2 - The concept of the maximum principle represents a special property of solutions of certain differential equations. It is basically the property that the (global) maximum is assumed to be at the boundary of the domain of definition of the figure that satisfies the maximum principle. The greatest application of the maximum principle is in the uniqueness and stability of the solutions of Dirichlet problems, which is the subject of this work. For this purpose, some basic assumptions concerning two-dimensional Riemannian manifolds and their metrics are used to obtain estimates for Jacobi fields. In doing so, the Jacobi fields are split into a tangent and a normal part and, in particular, the normal part is restricted both from below and from above, resulting in a restriction of the Riemannian metric for arbitrary two-dimensional vectors. These estimates form the cornerstone for the application of the direct variational method of Hildebrandt, Kaul and Widman to the case of a circular disk in a Riemannian manifold. A weak existence statement concerning the minimisation problem of the energy functional is shown, which does not require any further regularity assumptions, and is then extended to weakly harmonic mappings with prescribed boundary values. A further result presents the uniqueness and stability of solutions of the Dirichlet problem for harmonic mappings in the form of the maximum principle of Jäger and Kaul, which is obtained by estimates of Jacobi fields. As an alternative approach to this, the maximum principle of the convex hull is presented in this paper. The most important differences are that here a stable Riemannian domain is assumed and by means of this a family of geodesics is considered, which form a simple overlap of the circular disk in the form of a central field. Furthermore, this method guarantees the uniqueness of the Dirichlet solution. This statement can be extended in the sense that, under appropriate conditions on the metric, the solution is a C^(2+α)-diffeomorphism over the entire domain. Finally, we demonstrate this method on the example of Poincaré's half-plane. KW - Maximumprinzip KW - Mannigfaltigkeit KW - Harmonische Abbildung KW - Maximum principle KW - Manifold KW - Harmonic mapping KW - Mannigfaltigkeit KW - Maximumprinzip KW - Harmonische Abbildung KW - Partielle Differentialgleichung KW - Dirichlet-Problem Y1 - 2020 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889 ER -