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    <completedYear>2021</completedYear>
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    <completedDate>2022-09-20</completedDate>
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    <thesisDateAccepted>2021-10-07</thesisDateAccepted>
    <title language="deu">Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation</title>
    <title language="eng">Optimal control problems with total variation</title>
    <abstract language="deu">Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Gebäuden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften für die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß dafür darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas über deren Änderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu Lösungen führen, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsmöglichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann für viele Probleme die Existenz einer Optimallösung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. &#13;
Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer Lösung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen Lösungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften für vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur für ein Problem konnten zufriedenstellende Lösungen berechnet werden. Allerdings ist es möglich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu übertragen.</abstract>
    <abstract language="eng">Optimal control problems have an abundance of applications, for example in shape optimization, in energy management of buildings or in network transport problems. The goal is to control a system in a way that a certain value is minimized or maximized, as for instance its energy consumption. Often, it is also desirable to obtain certain qualitative properties for the control function itself. In this sense, we investigate the total variation, which measures how much a function varies, roughly speaking it indicates a functions change behaviour. Penalizing large variations in the control should lead to solutions that are easier to implement in practice. However, such a procedure also has other advantages and possible applications in mathematical modelling; the existence of an optimal solution for example can be guaranteed for many problems if the total variation is used as a regularization term.&#13;
The master thesis investigates a general problem class of such optimization problems. In addition to proving the existence of a solution, the objective function was examined for differentiability and the findings were used to construct a solution algorithm based on the proximal gradient method and Bellman's optimality principle. After proving some convergence properties for sequences constructed by the algorithm, it was tested on two problem instances. Satisfactory solutions could only be calculated for one problem. However, it is possible to transfer the ideas of the method to other promising algorithms.</abstract>
    <identifier type="doi">10.26127/BTUOpen-6071</identifier>
    <identifier type="urn">urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717</identifier>
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    <licence>Creative Commons - CC BY-SA - Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International</licence>
    <author>Jonas Marko</author>
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      <value>Optimale Steuerung</value>
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      <value>Totalvariation</value>
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      <value>Total variation</value>
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      <value>Optimal control</value>
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      <value>Optimale Kontrolle</value>
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      <value>Funktion von beschränkter Variation</value>
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    <collection role="ddc" number="5">Naturwissenschaften und Mathematik</collection>
    <collection role="collections" number="">Wiss. Publikationen</collection>
    <collection role="institutes" number="1309">FG Optimale Steuerung</collection>
    <thesisPublisher>BTU  Cottbus - Senftenberg</thesisPublisher>
    <thesisGrantor>BTU Cottbus - Senftenberg</thesisGrantor>
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    <id>4903</id>
    <completedYear>2019</completedYear>
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    <completedDate>2019-08-05</completedDate>
    <publishedDate>--</publishedDate>
    <thesisDateAccepted>2019-07-03</thesisDateAccepted>
    <title language="deu">Notwendige Optimalitätskriterien für eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont</title>
    <title language="eng">Necessary optimality criteria for a class of optimal control problems with an a priori given infinite time horizon</title>
    <abstract language="deu">In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind.  Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ &gt; 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ &gt; 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carathéodory studiert. Die lokal absolut stetige Lösung lässt sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es genügen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen.&#13;
In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalitätskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalitätskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zurückgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zurückzuführen ist. &#13;
Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien mündet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich natürliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So können mit der in dieser Arbeit präsentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bezüglich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.</abstract>
    <abstract language="eng">In the dissertation "Necessary optimality criteria for a class of control problems with an a priori given infinite time horizon" a contribution is made to the theory of control problems with an a priori given infinite time horizon. This class of problems arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems, where a divergence of the target function to be optimized has to be excluded. The work is based on the Lebesgue integral. The optimization takes place in weighted Hilbert spaces. Specifically, problems whose states are elements of a weighted Sobolev space are considered. The controls belong to a weighted Lebesgue space. The weight function µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ &gt; 0 is a suitable choice. The parameter ⍴ &gt; 0 is determined from the dynamics. The optimal control problem thus embeds itself in a convex Hilbert space theory. The admissible processes can be bounded uniformly. Almost everywhere point-wise convergent sequences of valid state trajectories converge in the topology of the Hilbert space as well, due to the Lebesgue dominated convergence theorem. This allows one to study the problem with methods of functional analysis and, on the other hand, to use point-wise arguments. Specifically, the dynamics is studied in the sense of an initial value problem after Carathéodory. The locally absolutely continuous solution can be embedded in the weighted Sobolev space. Local point-wise arguments on the side of the dynamics suffice, to place the problem in the context of a uniform theory with respect to the Hilbert space norm.&#13;
In this context, the present work deals with the derivation of necessary optimality criteria. Two maximum principles of the Pontryagin type are proved. The core idea to prove these results is the separation of convex sets. Specifically, we examine a convex and closed variation cone, which does not span the entire Hilbert space. The separation theorem of Hahn-Banach provides besides the core conditions of the maximum principle - canonical equation, maximum condition - also the explicit existence of an adjoint, which satisfies the natural transversality condition. For the construction of the variation cone two different types of variation are used according to the two studied optimality criteria. On the one hand, a variation idea based on Euler is used. On the other hand, an approach that can be traced back to Weierstraß is used.&#13;
A comparison of the derived maximum principles leads to a suitable formulation of a variation in the weighted Hilbert space setting. At the same time, natural barriers of convex analysis emerge. Thus, with the proof technique presented in this work, only problems can be investigated which have affine linear dynamics with respect to the control.</abstract>
    <identifier type="urn">urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035</identifier>
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    <licence>Keine Lizenz vergeben. Es gilt das deutsche Urheberrecht.</licence>
    <author>Torsten Ziemann</author>
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      <value>Optimale Steuerung</value>
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      <value>Notwendige Optimalitätskriterien</value>
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      <value>Pontryagin Maximumprinzip</value>
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      <value>Affin-lineare Dynamik</value>
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      <value>Pontryagin maximum principle</value>
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      <value>Affin-linear dynamics</value>
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      <value>Steuerungstheorie</value>
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      <value>Optimale Kontrolle</value>
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    <collection role="collections" number="">Wiss. Publikationen</collection>
    <collection role="institutes" number="1309">FG Optimale Steuerung</collection>
    <thesisPublisher>BTU  Cottbus - Senftenberg</thesisPublisher>
    <thesisGrantor>BTU Cottbus - Senftenberg</thesisGrantor>
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    <completedYear>2020</completedYear>
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    <completedDate>2021-01-05</completedDate>
    <publishedDate>--</publishedDate>
    <thesisDateAccepted>2020-12-17</thesisDateAccepted>
    <title language="eng">On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces</title>
    <title language="deu">Über Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen</title>
    <abstract language="eng">In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting.&#13;
Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied.&#13;
We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments.&#13;
The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory.</abstract>
    <abstract language="deu">In dieser Arbeit werden Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme in unendlichdimensionalen Räumen betrachtet. Insbesondere sind wir an notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für solche Optimierungsprobleme interessiert. Wir studieren Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme sowohl in abstrakten Banachräumen als auch in konkreteren Situationen. So betrachten wir etwa die optimale Steuerung des Hindernisproblems, welches ein typisches Zwei-Ebenen-Optimierungsproblem in Sobolevräumen ist, sowie auch eine Klasse von inversen Optimalsteuerungsproblemen. Dabei wenden wir unsere Ergebnisse aus den Betrachtungen in abstrakten Banachräumen an, um Optimalitätsbedingungen zu zeigen.&#13;
Der Ansatz, um Optimalitätsbedingungen in der abstrakten Situation herzuleiten, benutzt die Relaxierung einer Reformulierung des Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems, welche auf der Optimalwertfunktion basiert. Dabei führen wir auch die sogenannten normalkegelerhaltenden Operatoren ein und zeigen, wie dieses Konzept zur Anwendung kommt.&#13;
Wir gehen auch auf andere Themen, die in diesem Zusammenhang auftreten, ein. So wird der sogenannte „llimiting normal cone“ zu einer Komplementaritätsmenge in Sobolevräumen betrachtet. Diese Komplementaritätsmenge spielt eine zentrale Rolle für die optimale Steuerung des Hindernisproblems. Der „llimiting normal cone“ ist ein Konzept, welches in der variationellen Analysis vorkommt und den gewöhnlichen Normalkegel aus der konvexen Analysis verallgemeinert. Ebenfalls untersucht wird die Fragestellung, in welchen Räumen Legendre-Formen und Legendre-*-Formen existieren können. Es wird gezeigt, dass die Existenz von Legendre-*-Formen in einem reflexiven Banachraum oder einem Raum mit einem separablen Prädualraum impliziert, dass diese Räume bereits isomorph zu einem Hilbertraum sind. Wir betrachten auch eine Diskretisierung eines Zwei-Ebenen-Optimierungsproblems in Lebesgueräumen. Dabei werden sowohl Fehlerschätzungen gezeigt als auch numerische Experimente präsentiert.&#13;
Die erhaltenen neuen Resultate in dieser Arbeit werden mit Beispielen und Gegenbeispielen bereichert. Damit die Themen in einer in sich abgeschlossenen Form präsentiert werden können, werden auch bereits bekannte Konzepte eingeführt und grundlegende Eigenschaften diskutiert. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf die Kapazitätstheorie gelegt.</abstract>
    <identifier type="doi">10.26127/BTUOpen-5375</identifier>
    <identifier type="urn">urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755</identifier>
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    <author>Felix Harder</author>
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      <value>Bilevel optimization</value>
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      <value>Optimality conditions</value>
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      <language>deu</language>
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      <value>Optimale Steuerung</value>
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    </subject>
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      <value>Hindernisproblem</value>
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      <value>Zwei-Ebenen-Optimierung</value>
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    <collection role="ddc" number="510">Mathematik</collection>
    <collection role="collections" number="">Wiss. Publikationen</collection>
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    <id>7107</id>
    <completedYear>2025</completedYear>
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    <completedDate>2025-07-05</completedDate>
    <publishedDate>--</publishedDate>
    <thesisDateAccepted>2025-03-13</thesisDateAccepted>
    <title language="deu">Relaxierungen von Steuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont : Young-Maße und Existenz optimaler Lösungen</title>
    <title language="eng">Relaxations of optimal control problems with infinite horizon : Young measures and existence of optimal solutions</title>
    <abstract language="eng">The focus of this work is on the development of existence results for non-convex optimal control problems over an unbounded time horizon.&#13;
The work is structured into three parts:&#13;
   - the elaboration of necessary functional-analytic foundations,&#13;
   - the derivation of equivalence relations between different types of relaxations,&#13;
   - existence statements for both compact and unbounded control domains.&#13;
Particularly, the topology of compact convergence is introduced on the space of locally absolutely continuous functions. Further we develop embedding theorems and a Hardy inequality in relation to weighted reflexive Sobolev spaces, which are proposed as state spaces.&#13;
The integrand of the objective functional is assumed to be a non-negative normal integrand, and the state equation is assumed to be a Carathéodory differential equation. The time interval is endowed with measures induced by weights.&#13;
We present sufficient conditions to establish the equivalence of three pertinent types of relaxations Γ-regularization, generalized control, and sliding mode.&#13;
To establish the existence results, we focus on the relaxation based on generalized controls (Young measures). In this context, we develop a suitable disintegration theorem and a weakened Prokhorov condition that are especially applicable to the case of generalized controls and non-linear state equations over an unbounded control domain. On the measure spaces, we introduce the vague or tight topology, depending on whether the control domain is compact or not.&#13;
In the final part of the work we propose growth conditions on the integrand and on the right-hand side of the state equation to enforce closedness and compactness properties of an admissible set. Correspondingly, appropriate lemmas and existence theorems are presented for the cases of a compact resp. unbounded control domain, based on an existence theorem by Weierstrass.&#13;
Finally, the existence results are illustrated through application examples.</abstract>
    <abstract language="deu">Der Fokus der vorliegenden Arbeit liegt auf der Entwicklung von Existenzresultaten für nicht konvexe Probleme der optimalen Steuerung über einem unbeschränkten Zeithorizont.&#13;
Die Arbeit ist in drei Teile gegliedert:&#13;
   - die Ausarbeitung notwendiger funktionalanalytischer Grundlagen,&#13;
   - die Herleitung von Äquivalenzrelationen zwischen Relaxierungen verschiedenen Typs,&#13;
   - Existenzaussagen für kompakte und auch für unbeschränkte Steuerbereiche.&#13;
Konkret wird auf dem Raum der lokal absolut stetigen Funktionen die Topologie der kompakten Konvergenz eingeführt. Zudem werden Einbettungssätze sowie eine Hardy-Ungleichung in Bezug auf gewichtete reflexive Sobolev-Räume untersucht, welche als Zustandsräume vorgeschlagen werden.&#13;
Der Integrand des Zielfunktionals wird als nicht negativer normaler Integrand und die Zustandsgleichung als eine Carathéodory-Differentialgleichung vorausgesetzt. Das Zeitintervall wird mit allgemeinen, durch Gewichte induzierten, Maßen versehen.&#13;
Es werden hinreichende Bedingungen für die Äquivalenz von drei einschlägigen Relaxierungen vorgestellt: Γ-Regularisierung, verallgemeinerte Steuerung, Gleitregime.&#13;
Um die Existenzresultate aufzustellen, konzentrieren wir uns auf die Relaxierung auf Basis der verallgemeinerten Steuerungen (Young-Maße). Dabei entwickeln wir einen geeigneten Desintegrationssatz sowie eine abgeschwächte Prokhorov-Bedingung, die speziell für den Fall der verallgemeinerten Steuerungen und nicht linearen Zustandsgleichungen auf dem unbeschränkten Steuerbereich Anwendung findet. Auf den Maßräumen führen wir die vage beziehungsweise die straffe Topologie ein, abhängig davon, ob der Steuerbereich kompakt ist oder nicht.&#13;
Im letzten Teil der Arbeit werden Wachstumsbedingungen an den Integranden sowie an die rechte Seite der Zustandsgleichung vorgeschlagen, um die Abgeschlossenheit und Kompaktheitseigenschaften der zulässigen Menge zu erzwingen. Entsprechend werden passende Lemmata und Existenzsätze für die Fälle eines kompakten beziehungsweise eines unbeschränkten Steuerbereiches auf Basis eines Existenzsatzes von Weierstraß vorgestellt.&#13;
Abschließend werden die Existenzresultate anhand von Anwendungsbeispielen veranschaulicht.</abstract>
    <identifier type="doi">10.26127/BTUOpen-7107</identifier>
    <identifier type="urn">urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71078</identifier>
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    <licence>Creative Commons - CC BY-SA - Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International</licence>
    <author>Illia Dikariev</author>
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      <value>Optimal control</value>
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      <value>Optimale Steuerung</value>
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      <value>Infinite time horizon</value>
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      <value>Unendlicher Zeithorizont</value>
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      <value>Young measures</value>
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      <language>deu</language>
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      <value>Young-Maße</value>
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      <value>Relaxed controls</value>
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      <value>Verallgemeinerte Steuerungen</value>
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      <language>eng</language>
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      <value>Unbounded controls</value>
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      <value>Unbeschränkte Steuerungen</value>
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      <value>Hardy-Raum</value>
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      <value>Sobolev-Raum</value>
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      <value>Carathéodory-Differentialgleichung</value>
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      <value>Young-Maß</value>
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    <collection role="ddc" number="515">Analysis</collection>
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    <thesisGrantor>BTU Cottbus - Senftenberg</thesisGrantor>
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