@misc{Marko2021, type = {Master Thesis}, author = {Marko, Jonas}, title = {Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation}, doi = {10.26127/BTUOpen-6071}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Geb{\"a}uden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Gr{\"o}ße minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften f{\"u}r die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß daf{\"u}r darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas {\"u}ber deren {\"A}nderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu L{\"o}sungen f{\"u}hren, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsm{\"o}glichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann f{\"u}r viele Probleme die Existenz einer Optimall{\"o}sung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer L{\"o}sung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen L{\"o}sungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalit{\"a}tsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften f{\"u}r vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur f{\"u}r ein Problem konnten zufriedenstellende L{\"o}sungen berechnet werden. Allerdings ist es m{\"o}glich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu {\"u}bertragen.}, subject = {Optimale Steuerung; Totalvariation; Total variation; Optimal control; Optimale Kontrolle; Funktion von beschr{\"a}nkter Variation}, language = {de} } @phdthesis{Ziemann2019, author = {Ziemann, Torsten}, title = {Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien f{\"u}r eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilbertr{\"a}umen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zust{\"a}nde Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu w{\"a}hlen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zul{\"a}ssigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast {\"u}berall punktweise konvergente Folgen zul{\"a}ssiger Zustandstrajektorien konvergieren gem{\"a}ß dem Satz von Lebesgue {\"u}ber die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carath{\´e}odory studiert. Die lokal absolut stetige L{\"o}sung l{\"a}sst sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es gen{\"u}gen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalit{\"a}tskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalit{\"a}tskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zur{\"u}ckgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien m{\"u}ndet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich nat{\"u}rliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So k{\"o}nnen mit der in dieser Arbeit pr{\"a}sentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bez{\"u}glich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.}, subject = {Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien; Pontryagin Maximumprinzip; Affin-lineare Dynamik; Optimal control; Infinite horizon; Necessary optimality criteria; Pontryagin maximum principle; Affin-linear dynamics; Steuerungstheorie; Optimale Kontrolle; Optimalit{\"a}tsbedingung; Pontrjagin-Maximumprinzip}, language = {de} }