@phdthesis{Mehlitz2021, author = {Mehlitz, Patrick}, title = {On implicit variables and related topics in mathematical optimization}, doi = {10.26127/BTUOpen-5529}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55291}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {This thesis is concerned with the phenomenon of implicit variables in optimization theory. Roughly speaking, a variable is called implicit whenever it is used to model the feasible set but does not appear in the objective function. At the first glance, such variables seem to be less relevant for the purpose of optimization. First, we provide a theoretical study on optimization problems with implicit variables. Therefore, we rely on a model program which covers several interesting problem classes from optimization theory such as bilevel optimization problems, evaluated multiobjective optimization problems, or optimization problems with cardinality constraints. We start our analysis by clarifying that the interpretation of implicit variables as explicit ones induces additional local minimizers. Afterwards, we study three reasonable stationarity systems of Mordukhovich-stationarity-type for the original problem as well as some comparatively weak associated constraint qualifications. The obtained results are applied to the three example classes mentioned above. Second, we introduce switching- and or-constrained optimization problems. Exploiting the observation that each or-constrained optimization problem can be transferred into a switching-constrained optimization problem with the aid of slack variables, one can interpret or-constrained programs as optimization problems comprising implicit variables. Necessary optimality conditions and constraint qualifications for both problem classes are derived. Furthermore, some approaches for the numerical solution of both problem classes are discussed and results of computational experiments are presented. The shortcomings of implicit variables are highlighted in terms of or-constrained optimization. Third, we study three different scenarios where optimality conditions and constraint qualifications for challenging optimization problems can be constructed while abstaining from the introduction of implicit variables. We start by deriving a generalized version of the linear independence constraint qualification as well as second-order necessary and sufficient optimality conditions for so-called disjunctive optimization problems, which cover several interesting but inherently irregular problem classes like mathematical programs with complementarity, switching, or-, and cardinality constraints. Afterwards, we exploit several different single-level reformulations of standard bilevel optimization problems in order to find first- and second-order sufficient optimality conditions. Finally, we study sequential stationarity and regularity conditions for nonsmooth mathematical problems with generalized equation constraints with the aid of the popular limiting variational analysis. The investigated model problem covers the one we use for the theoretical analysis of implicit variables.}, subject = {Mathematical optimization; Implicit variables; Optimality conditions; Constraint qualifications; Variational analysis; Mathematische Optimierung; Implizite Variablen; Optimalit{\"a}tsbedingungen; Regularit{\"a}tsbedingungen; Variationsanalysis; Optimierung; Variable; Optimalit{\"a}tsbedingung; Regularit{\"a}t; Variationsrechnung}, language = {en} } @misc{Marko2021, type = {Master Thesis}, author = {Marko, Jonas}, title = {Optimalsteuerungsprobleme mit Totalvariation}, doi = {10.26127/BTUOpen-6071}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-60717}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Geb{\"a}uden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Gr{\"o}ße minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften f{\"u}r die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß daf{\"u}r darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas {\"u}ber deren {\"A}nderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu L{\"o}sungen f{\"u}hren, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsm{\"o}glichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann f{\"u}r viele Probleme die Existenz einer Optimall{\"o}sung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet. Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer L{\"o}sung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen L{\"o}sungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalit{\"a}tsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften f{\"u}r vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur f{\"u}r ein Problem konnten zufriedenstellende L{\"o}sungen berechnet werden. Allerdings ist es m{\"o}glich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu {\"u}bertragen.}, subject = {Optimale Steuerung; Totalvariation; Total variation; Optimal control; Optimale Kontrolle; Funktion von beschr{\"a}nkter Variation}, language = {de} } @phdthesis{Ziemann2019, author = {Ziemann, Torsten}, title = {Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien f{\"u}r eine Klasse von Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-49035}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2019}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilbertr{\"a}umen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zust{\"a}nde Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu w{\"a}hlen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zul{\"a}ssigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast {\"u}berall punktweise konvergente Folgen zul{\"a}ssiger Zustandstrajektorien konvergieren gem{\"a}ß dem Satz von Lebesgue {\"u}ber die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carath{\´e}odory studiert. Die lokal absolut stetige L{\"o}sung l{\"a}sst sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es gen{\"u}gen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalit{\"a}tskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalit{\"a}tskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zur{\"u}ckgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zur{\"u}ckzuf{\"u}hren ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien m{\"u}ndet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich nat{\"u}rliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So k{\"o}nnen mit der in dieser Arbeit pr{\"a}sentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bez{\"u}glich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.}, subject = {Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Notwendige Optimalit{\"a}tskriterien; Pontryagin Maximumprinzip; Affin-lineare Dynamik; Optimal control; Infinite horizon; Necessary optimality criteria; Pontryagin maximum principle; Affin-linear dynamics; Steuerungstheorie; Optimale Kontrolle; Optimalit{\"a}tsbedingung; Pontrjagin-Maximumprinzip}, language = {de} } @phdthesis{Harder2020, author = {Harder, Felix}, title = {On bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces}, doi = {10.26127/BTUOpen-5375}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-53755}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {In this thesis we consider bilevel optimization problems in infinite-dimensional spaces. In particular, we are interested in providing first-order necessary optimality conditions. We consider bilevel optimization problems both in abstract Banach spaces and in some special situations. This includes the optimal control of the obstacle problem, which is a typical bilevel optimization problem in Sobolev spaces, as well as a class of inverse optimal control problems. We obtain optimality conditions for these more specific optimization problems by applying our results from the abstract setting. Our main approach for deriving optimality conditions in the abstract setting utilizes the relaxation of a reformulation of the bilevel optimization problem via the optimal value function. We also introduce the so-called normal-cone-preserving operators and show how this concept can be applied. We also consider other topics that arise in this context. For instance, we investigate the so-called limiting normal cone to a complementarity set in Sobolev spaces. This complementarity set plays a central role in the context of the optimal control of the obstacle problem. The limiting normal cone is a concept which appears in the area of variational analysis and generalizes the usual normal cone from convex analysis. We also investigate in which spaces Legendre forms and Legendre-* forms can exist. We show that if a Legendre-* form exists in a reflexive Banach space or a space with a separable predual space, then this space is already isomorphic to a Hilbert space. We also consider a discretization of a bilevel optimization problem in Lebesgue spaces. We present both theoretical error estimates and numerical experiments. The new results in this thesis are illustrated by examples and counterexamples. In order to present the topics in a self-contained way, we review some known concepts and their basic properties. A particular focus for this is on the definitions and properties from the area of capacity theory.}, subject = {Bilevel optimization; Optimality conditions; Optimal control; Inverse optimal control; Obstacle problem; Zwei-Ebenen-Optimierung; Optimalit{\"a}tsbedingungen; Optimale Steuerung; Inverse optimale Steuerung; Hindernisproblem; Optimale Kontrolle; Hindernisproblem; Optimalit{\"a}tsbedingung; Zwei-Ebenen-Optimierung}, language = {en} } @phdthesis{Dikariev2025, author = {Dikariev, Illia}, title = {Relaxierungen von Steuerungsproblemen mit unendlichem Zeithorizont : Young-Maße und Existenz optimaler L{\"o}sungen}, doi = {10.26127/BTUOpen-7107}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-71078}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2025}, abstract = {The focus of this work is on the development of existence results for non-convex optimal control problems over an unbounded time horizon. The work is structured into three parts: - the elaboration of necessary functional-analytic foundations, - the derivation of equivalence relations between different types of relaxations, - existence statements for both compact and unbounded control domains. Particularly, the topology of compact convergence is introduced on the space of locally absolutely continuous functions. Further we develop embedding theorems and a Hardy inequality in relation to weighted reflexive Sobolev spaces, which are proposed as state spaces. The integrand of the objective functional is assumed to be a non-negative normal integrand, and the state equation is assumed to be a Carath{\´e}odory differential equation. The time interval is endowed with measures induced by weights. We present sufficient conditions to establish the equivalence of three pertinent types of relaxations Γ-regularization, generalized control, and sliding mode. To establish the existence results, we focus on the relaxation based on generalized controls (Young measures). In this context, we develop a suitable disintegration theorem and a weakened Prokhorov condition that are especially applicable to the case of generalized controls and non-linear state equations over an unbounded control domain. On the measure spaces, we introduce the vague or tight topology, depending on whether the control domain is compact or not. In the final part of the work we propose growth conditions on the integrand and on the right-hand side of the state equation to enforce closedness and compactness properties of an admissible set. Correspondingly, appropriate lemmas and existence theorems are presented for the cases of a compact resp. unbounded control domain, based on an existence theorem by Weierstrass. Finally, the existence results are illustrated through application examples.}, subject = {Optimal control; Optimale Steuerung; Infinite time horizon; Unendlicher Zeithorizont; Young measures; Young-Maße; Relaxed controls; Verallgemeinerte Steuerungen; Unbounded controls; Unbeschr{\"a}nkte Steuerungen; Optimale Kontrolle; Hardy-Raum; Sobolev-Raum; Carath{\´e}odory-Differentialgleichung; Young-Maß}, language = {de} }