@phdthesis{Tauchnitz2010, author = {Tauchnitz, Nico}, title = {Das Pontrjaginsche Maximumprinzip f{\"u}r eine Klasse hybrider Steuerungsprobleme mit Zustandsbeschr{\"a}nkung und seine Anwendung}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-17877}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen f{\"u}r Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu geh{\"o}renden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschr{\"a}nkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgew{\"a}hlten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel f{\"u}hrt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es m{\"o}glich, beim Vergleich zul{\"a}ssiger Trajektorien auf die Einschr{\"a}nkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So k{\"o}nnen wir die Aufgabe auf der Menge aller zul{\"a}ssigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalit{\"a}t die Schaltstrategie als Steuervariable ber{\"u}cksichtigen und d{\"u}rfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen.}, subject = {Pontrjagin-Maximumprinzip; Beweis; Optimale Kontrolle; Optimale Steuerung; Hybride Systeme; Zustandsbeschr{\"a}nkungen; Pontrjaginsches Maximumprinzip; Notwendige Bedingungen; Optimal control; Hybrid system; State constraints; Pontryagin maximum principle; Necessary conditions}, language = {de} } @phdthesis{Kolo2021, author = {Kolo, Katharina}, title = {Ein dual-basierter Ansatz zur Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont}, doi = {10.26127/BTUOpen-5522}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55224}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2021}, abstract = {Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Ber{\"u}cksichtigung von Steuerungsbeschr{\"a}nkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enth{\"a}lt die Arbeit zudem eine ausf{\"u}hrliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Daf{\"u}r betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. F{\"u}r die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird daf{\"u}r {\"u}ber gewichteten Funktionenr{\"a}umen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-R{\"a}ume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausf{\"u}hrungen zwischen Problemen {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zun{\"a}chst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler L{\"o}sungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalit{\"a}tsbedingungen f{\"u}r Probleme {\"u}ber Funktionenr{\"a}umen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualit{\"a}t wird hierf{\"u}r eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenr{\"a}umen mit Dichtefunktionen hergeleitet. F{\"u}r diese k{\"o}nnen schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalit{\"a}tsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer nat{\"u}rlichen Transversalit{\"a}tsbedingung gen{\"u}gt. F{\"u}r die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollst{\"a}ndiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.}, subject = {Optimale Steuerung; Optimal control; Unendlicher Zeithorizont; Infinit horizon; Dualit{\"a}t; Duality; Stabilisierung; Stabilization; Pseudospektralmethode; Pseudo spectral method; Lagrange-Dualit{\"a}t; Optimale Kontrolle; Stabilisierung ; Epidemiologie; COVID-19}, language = {de} } @phdthesis{Wenzke2020, author = {Wenzke, Diana}, title = {Beitr{\"a}ge zu Problemen der Optimalsteuerung mit unendlichem Zeithorizont - Transformationseigenschaften}, doi = {10.26127/BTUOpen-5202}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-52026}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird f{\"u}r Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, f{\"u}r welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalit{\"a}tsbedingung enthalten. An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularit{\"a}ten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel f{\"u}r Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in nat{\"u}rlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevr{\"a}umen angeh{\"o}ren. Das erkl{\"a}rt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips f{\"u}r Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide S{\"a}tze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenr{\"a}ume Hilbertr{\"a}ume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel f{\"u}r Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der H{\"o}lderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gew{\"o}hnlichen Differentialrechnung ben{\"o}tigt, um mittels des Beweises der {\"A}quivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz f{\"u}r ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erf{\"u}llten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularit{\"a}ten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum f{\"u}r Steuerungsprobleme mit Singularit{\"a}ten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes l{\"a}sst sich explizit nachpr{\"u}fen, welche analytischen Eigenschaften f{\"u}r die L{\"o}sung zu erwarten sind.}, subject = {Transformationen; Unendlicher Zeithorizont; Optimale Steuerung; Singularit{\"a}ten; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Transformations; Infinite horizon; Optimal control; Singularities; Weighted sobolev spaces; Gewichteter Funktionenraum; Optimale Kontrolle; Singularit{\"a}t ; Transformation }, language = {de} } @phdthesis{Lykina2010, author = {Lykina, Valeriya}, title = {Beitr{\"a}ge zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus-18615}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2010}, abstract = {In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makro{\"o}konomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Sch{\"a}dlingsbek{\"a}mpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gew{\"a}hlt. Dies ist einer der Schl{\"u}sselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenr{\"a}ume mit Vorteil f{\"u}r die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einf{\"u}hrung einer zus{\"a}tzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umst{\"a}nden die Existenz einer optimalen L{\"o}sung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gew{\"a}hrleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zul{\"a}ssigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalit{\"a}t testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung ber{\"u}cksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es S{\"a}tze {\"u}ber Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate {\"u}ber die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesguer{\"a}umen {\"u}ber einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes f{\"u}r die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingef{\"u}hrte Zustandsbeschr{\"a}nkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualit{\"a}tstheorie f{\"u}r Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenr{\"a}umen und die Herleitung hinreichender Optimalit{\"a}tsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Kl{\"o}tzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualit{\"a}tstheorie werden hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen zweiter Ordnung f{\"u}r starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschw{\"a}chte Version dieser Bedingungen unter Ber{\"u}cksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele pr{\"a}sentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zul{\"a}ssigen Bereichen f{\"u}hren oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abh{\"a}ngigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen S{\"a}tze wird ausf{\"u}hrlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.}, subject = {Optimale Kontrolle; Analysis; Optimale Steuerung; Unendlicher Zeithorizont; Hinreichende Optimalit{\"a}tsbedingungen; Existenzsatz; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Optimal control; Infinite horizon; Sufficient optimality conditions; Existence theorem; Weighted functional spaces}, language = {de} }