@phdthesis{Wenzke2020, author = {Wenzke, Diana}, title = {Beitr{\"a}ge zu Problemen der Optimalsteuerung mit unendlichem Zeithorizont - Transformationseigenschaften}, doi = {10.26127/BTUOpen-5202}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-52026}, school = {BTU Cottbus - Senftenberg}, year = {2020}, abstract = {Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird f{\"u}r Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, f{\"u}r welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalit{\"a}tsbedingung enthalten. An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularit{\"a}ten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel f{\"u}r Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in nat{\"u}rlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevr{\"a}umen angeh{\"o}ren. Das erkl{\"a}rt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips f{\"u}r Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide S{\"a}tze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenr{\"a}ume Hilbertr{\"a}ume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel f{\"u}r Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der H{\"o}lderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gew{\"o}hnlichen Differentialrechnung ben{\"o}tigt, um mittels des Beweises der {\"A}quivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz f{\"u}r ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erf{\"u}llten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularit{\"a}ten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum f{\"u}r Steuerungsprobleme mit Singularit{\"a}ten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes l{\"a}sst sich explizit nachpr{\"u}fen, welche analytischen Eigenschaften f{\"u}r die L{\"o}sung zu erwarten sind.}, subject = {Transformationen; Unendlicher Zeithorizont; Optimale Steuerung; Singularit{\"a}ten; Gewichtete Funktionenr{\"a}ume; Transformations; Infinite horizon; Optimal control; Singularities; Weighted sobolev spaces; Gewichteter Funktionenraum; Optimale Kontrolle; Singularit{\"a}t ; Transformation }, language = {de} }